Matemática - Resenha Crítica

Hipátia | IFSP | 2016

1 de janeiro de 2016

Hipátia de Alexandria / Desenho de Jules Maurice Gaspard (1862–1919). Reprodução Wikimedia Commons /

A Hipátia – Revista Brasileira de História, Educação e Matemática (São Paulo, 2016-) – Qualis B2 na área de Ensino -, conforme sugere seu nome, aceita trabalhos de História da Matemática, Educação Matemática e de Matemática (pura e aplicada).

Artigos de Educação também serão aceitos para apreciação. A revista foi oficialmente criada em 8 de março de 2016. Duas concepções principais nos norteiam:

ajudar a ampliar a participação da mulher na ciência no Brasil;
abrir um espaço para jovens pesquisadores (mestres, doutorandos ou doutores que tenham obtido título há, no máximo, cinco anos).

Isso significa que procuramos dentro da composição de nosso Conselho Editorial, Conselho Científico e em nossas edições, obter uma maioria de pesquisadores ou de trabalhos cujos autores atendam a pelo menos um desses quesitos.

É salutar destacar que, no entanto, contribuições de outros pesquisadores continuam sendo de grande valia. Não é cobrado qualquer valor sobre o envio e processamento dos artigos.

Periodicidade semestral

[Acesso livre]

ISSN 2523 2686

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A geometria nos primeiros anos escolares: história e perspectivas atuais – SILVA; VALENTE (Bo)

1 de abril de 2015

SILVA, M.C.L. da; VALENTE, W.R. (Orgs.). A geometria nos primeiros anos escolares: história e perspectivas atuais. Campinas: Papirus, 2014. 141p. Resenha de: GARNICA, Antonio Vicente Marafoti. Alterações e Manutenções: leituras sobre a geometria como saber escolar. BOLEMA, Rio Claro, v. 29, n.51, p.403-414, abr., 2015.

Dentre os historiadores que abraçam concepções contemporâneas sobre história, três princípios já enunciados em Bloch parecem indiscutíveis: aceitar que a origem de uma narrativa historiográfica é sempre arbitrada, atendendo a uma disposição do narrador; concordar que a origem não justifica a permanência; entender que as circunstâncias humanas do passado – que a história pretende prender num emaranhado de significados entrelaçados – são analisadas à luz do presente, numa dinâmica de manutenções e alterações que não ocorrem linearmente nem são guiadas pela ideia de progresso.

O recente livro organizado por Maria Célia Leme da Silva e Wagner Rodrigues Valente, A geometria nos primeiros anos escolares: história e perspectivas atuais, nos permite um exercício sobre essas concepções que, segundo penso, seria importante a todos os que escrevem história e, mais particularmente, história da Educação Matemática. Seu tema: como, no ensino primário brasileiro, se constitui e se mantém – em meio a uma dinâmica intensa de transformações – uma geometria escolar.

Ainda que o livro – como enunciam explicitamente tanto o prefácio, de Ana Maria Kaleff, quanto os próprios autores, na Introdução – tenha como público-alvo o professor que ensina Matemática para os anos iniciais, segundo os autores; e/ou os cursos de formação de professores, segundo Kaleff, o pesquisador do campo da História da Educação Matemática, não apenas por ser, também, professor que ensina Matemática – pode aproveitá-lo do mesmo modo, dada a diversidade de fontes nele disponibilizadas, os exercícios de análise sobre essas fontes e as possibilidades de problematização que ele abre, seja em relação à prática de escrever história ou às práticas didáticas relativas à Matemática.

Deve-se ressaltar, entretanto, que nem todos os quatro capítulos do texto são marcados pela mesma disposição historiográfica, viés acentuado nos três capítulos iniciais, que tecem como que um fio sequencial desde os primórdios do ensino de geometria nos anos iniciais (este o título do primeiro capítulo, que já arbitra aquela origem da narrativa da qual falávamos), passando pelo Ensino de Geometria nos Grupos Escolares, segundo capítulo, escrito por Silva e Valente, até chegar à perspectiva do Movimento Matemática Moderna, terceiro capítulo, escrito por Pinto e Valente. O quarto capítulo, redigido por Lima e Carvalho, – no qual há um diálogo mais direto com o professor que ensina Matemática acerca de conceitos geométricos e de formas possíveis de tratá-los em sala de aula, mas que, talvez por priorizar esse diálogo no presente não esteja entrecortado por uma perspectiva, digamos, histórica, nem teça relações com os capítulos anteriores, como fazem os três primeiros textos da coletânea – talvez esteja representado, no subtítulo da obra, pela expressão perspectivas atuais, ao passo que os demais capítulos respondem ao termo história, que consta do mesmo subtítulo. A conclusão, elaborada por Wagner Rodrigues Valente, explica a presença desse quarto capítulo, advogando por um vínculo entre ele e os capítulos anteriores: posto que coube aos primeiros capítulos analisar como a geometria se constitui em saber escolar para a escola primária brasileira, em meio a transformações e interferências dos mais variados matizes, seria necessário analisar, no presente,

[…] as referências tidas como importantes, tendo em vista a geometria escolar para o ensino fundamental, com destaque para os anos iniciais, em relação a como e ao que abordar nos primeiros contatos com a geometria, E, neste caso [do quarto capítulo], os temas tratados, conteúdos presentes para serem ensinados nos primeiros anos escolares, foram considerados de um ponto de vista mais avançado, sistematizados e com dose maior de rigor matemático (VALENTE, 2014, p. 129).

Segundo Silva e Valente, as primeiras discussões sobre o ensino de Geometria nos cursos primários brasileiros pode ser encontrada em texto de Martim Francisco d’Andrada – Memórias sobre a reforma de estudos da Capitania de São Paulo –, que defende proposta similar – uma quase tradução – àquela do Cinco memórias sobre a instrução pública, de Condorcet (2008) “o conteúdo desse ensino deve articular-se com a prática da agrimensura: um ensino de geometria para a prática, uma geometria prática para a primeira etapa da escolarização”. Desejando arbitrar um momento anterior à narrativa sobre a constituição, no Brasil, de um saber escolar relativo à geometria, o leitor poderia procurar aprofundar suas leituras acerca da posição do Marquês de Condorcet e dos Iluministas acerca da Instrução pública e, nela, das propostas para o ensino de geometria. Silva e Valente, entretanto, escrevendo para o professor que ensina matemática, sensatamente dão ao leitor apenas algumas indicações gerais acerca da posição de Condorcet sobre o assunto, e seguem em seu texto para abordar o primeiro fórum de discussão educacional instalado a partir da Independência: os debates parlamentares sobre a instrução popular.

O projeto da Casa Legislativa fixa, não sem controvérsias, que nas escolas primárias, “os professores ensinarão a ler, escrever, as quatro operações da aritmética, prática dos quebrados, decimais e proporções, as noções mais gerais de geometria prática, a gramática da língua nacional” (grifo dos autores). Sai vencedora dos debates, portanto, a linha dos parlamentares que, de alguma forma, abraçam a proposta de Martim Francisco, incluindo, em decorrência, a geometria dentre os saberes a serem ensinados na escola primária. Além disso, abraçam também, de alguma forma, aquela proposta condorcetiana que enfatiza o ensino dessa geometria prática. Interessante notar que se trata de um ponto de vista defendido pelo intelectual francês que, antes do período revolucionário, adepto das posições de Rousseau, Locke e Condillac, defendia o preceptorado, a instrução privada, para a educação da infância, e para o qual, apenas anos mais tarde, “a instrução pública passa a se configurar […] como uma resposta direta à contingência histórica, como alternativa anticlerical” (GOMES, 2008, p. 226). Interessante, também, notar que o plano de Concorcet – o Informe sobre a organização da instrução pública, baseado nas Cinco Memórias –, sequer votado pela Assembléia Legislativa do governo revolucionário, esteve na pauta de vários outros planos posteriores para a instrução pública da França, até fixar-se em solo brasileiro, na Lei de 15 de Outubro de 1827, marco historiográfico da educação nacional.

A lei de 1827 cria a escola primária em todas as cidades e vilas e aposta na adoção do método mútuo, do que decorre a publicação de livros que pudessem ajudar os mestres na tarefa que agora era deles exigida. Nesse cenário, surge a obra de Holanda Cavalcanti de Albuquerque, uma tradução/adaptação do Desenho Linear e Agrimensura, para todas as escolas primárias, qualquer que seja o modo de instrução que seja seguido, de 1819, referência para o ensino em Portugal e no Brasil, e cujo autor, Louis-Benjamin Francoeur, é pioneiro em sistematizar os conteúdos de desenho para as escolas de ensino mútuo. Mas, segundo Silva e Valente (p. 31)

[…] a análise do livro de Holanda Cavalcanti […] mostra que a geometria será prática se os alunos forem levados a trabalhar com as figuras geométricas. […] associar a esse ensino de geometria a agrimensura, a medição de terrenos, como é a intenção inicial de Condorcet, parece ter sido deixado de lado. […]. A representação do caráter prático migra, ao que parece, de atividades rurais – como a medição de terrenos – para as profissões que têm lugar nas vilas e cidades francesas ao tempo da escrita da obra de Francoeur. E mais: a forma prática dessa geometria deverá ser demonstrada no âmbito escolar: a atividade dos alunos com o desenho das formas geométricas. Não mais o campo, o terreno, como lugar da ação dos alunos é prova do caráter prático. Assim, nesses tempos iniciais, logo ficam à mostra as transformações de significado da geometria prática: nasce, desse modo, uma geometria escolar.

A cadeia de transformações pela qual passa a geometria ensinada nas escolas primárias leva, portanto, de uma geometria prática (essencialmente vinculada à agrimensura, como propunha Condorcet) ao desenho linear (uma prática relativa ao aprendizado da construção de linhas à mão livre. Uma prática de adestramento do olhar, rumo à precisão dos traçados) e, deste, à abordagem1 que aponta como saberes a serem ensinados “a caracterização e a nomenclatura dos objetos geométricos. […] Às aritméticas, agrega-se a geometria considerada mínima para o curso primário: os seus primeiros elementos, as primeiras definições” (SILVA; VALENTE, 2014, p. 38-9).

Pode-se notar, nos parágrafos anteriores (que nada mais são que uma síntese tosca das detalhadas análises realizadas no primeiro capítulo do livro aqui resenhado) esse processo de apropriação e transformação de ideias2 que servem de exemplo àquela não-linearidade a que nos referimos no início deste artigo e que cabe à historiografia estudar: por mais que a elaboração textual teime em exigir uma linearidade na apresentação, as ideias apresentadas explicitam o tortuoso caminho para que uma determinada apreensão se estabeleça, criando vínculos e impondo-se como referência, entre permanências e alterações. Trata-se, percebe-se, de uma defesa constante da prática como aliada à geometria escolar, ainda que essa prática possa ser (e efetivamente seja) lida de modo diferente com o correr do tempo. Os interessados em historiografia – e, especificamente, os interessados ou especialistas em História da Educação Matemática que, reiterando, não são (mas bem poderiam ser) o público-alvo do livro organizado por Silva e Valente – podem, a partir desse livro, destrinchar o emaranhado de linhas que conduzem ora a um resultado, ora a outro; que partem de uma mesma compreensão para criar diferentes versões, incluindo aquela que, num movimento homeopático e subversivo, tornar-se-á, de alguma forma, a versão hegemônica ou preponderante. Por outro lado, mesmo para o público-alvo do livro – os professores que ensinam Matemática – talvez fosse interessante problematizar – ou aventar perspectivas possíveis e plausíveis – sobre o que leva uma proposta de teor nitidamente prático – o ensino de geometria vinculado à agrimensura – deformar-se a ponto de se aproximar de uma apreensão mais teórica, mais elementar (no sentido euclidiano)3, como aquela veiculada nos manuais escolares de Souza Lobo (publicados na segunda metade do século XIX mas com edições até os anos de 1930, estudados em Silva e Valente). Uma dessas possibilidades, parece-me, traz à tona uma faceta da comunidade à qual o livro de Silva e Valente se dirige: trata-se da formação de professores. Se não, vejamos: mesmo Condorcet, que não era favorável aos livros de elementos para as crianças, recomendava aos professores dessas crianças as obras de Aritmética e Álgebra do padre Bossut e uma tradução francesa dos Elementos de Euclides (GOMES, 2008). Sabe-se que, passado um século da época de Condorcet, já na Inglaterra Vitoriana, o surgimento de manuais de Geometria para o ensino, alternativos ao de Euclides, causou vasta polêmica envolvendo a comunidade de matemáticos e educadores (MONTOITO, 2013). Nessa polêmica envolve-se, por exemplo, Lewis Carroll, cuja obra Euclides e seus rivais modernos, de 1879, é uma veemente defesa da manutenção dos Elementos como texto-base nas escolas inglesas. Não é polêmica – de modo geral, e não apenas à luz desses dois exemplos – a permanência da obra de Euclides no pensamento ocidental, seja na filosofia (como uma apreensão ao que seria Matemática) (MONTOITO; GARNICA, 2014), seja como estratégia de ensino para as salas de aula. Formados segundo essas concepções de uma Matemática que só têm sentido na órbita euclidiana4, não seria implausível pensar no papel que os autores dos Manuais escolares do passado desempenham ao elaborar suas obras: cuidam de deslizar para a prática didática as abordagens da prática científica segundo a qual eram formados. São, portanto, agenciadores. Esse debate, ainda bastante atual, pode ser levantado a partir da leitura do texto aqui resenhado, e poderia mesmo dele fazer parte, como questionamento explícito das práticas de agenciamento efetivadas por aqueles aos quais esse mesmo texto se destina.

Tratados esses primórdios, são os ventos republicanos e seu modelo específico de organização educacional – os Grupos Escolares – que constituem o pano de fundo do que o leitor encontrará no segundo capítulo. Fundamental para a organização e consolidação do ensino primário, não só no estado de São Paulo onde foram inicialmente criados ao final do século XIX, os Grupos Escolares são parte do esforço republicano, junto à criação de outros símbolos específicos, para a popularização do sistema político então vigente. Sabe-se que, ao contrário do que ocorreu na França, a República brasileira foi uma estratégia das elites, implantada sem a participação popular. Era preciso, pois, extravasar a república para fora do campo da elite, popularizar as potencialidades do novo regime. Para isso, a Educação foi, desde o princípio, chave fundamental. Esse extravasamento “não poderia ser feito por meio do discurso, inacessível a um público com baixo nível de educação formal. Ele teria de ser feito mediante sinais mais universais, de leitura mais fácil, como as imagens, as alegorias, os símbolos, os mitos” (CARVALHO, 2006, p.10). A construção de prédios monumentais foi decorrência dessa necessidade de formar almas, difundindo uma instrução nova, que seguiria uma legislação também nova, diametralmente oposta – pretendiam os republicanos – à da estrutura educacional mantida pelo Império. O método intuitivo, preconizado por Rui Barbosa, que traduzira o livro Lições de Coisas, de Norman Allison Calkins, passava a ser

[…] exaltado como o elemento mais importante dessas novas propostas educacionais”, e junto à geometria introduzia-se a taquimetria, “definida por Rui Barbosa como ‘concretização da geometria’, é o ensino da geometria pela evidência material […]: é a lição de coisas aplicada à medida das extensões e volumes’ (SILVA; VALENTE, 2014, p. 43-4)

O programa de ensino que implantaria essas e outras disposições foi elaborado por “Oscar Thompson, Benedito Tolosa e Antonio Rodrigues Alves [e] oficializado pelo decreto 248 de 26 de junho de 1894.” Trata-se de um programa extenso que cobre os quatro anos de instrução, e no qual o desenho aparece como “apoio importante para a geometria e um auxiliar poderoso à observação”. Notam Silva e Valente, porém, que a mobilização do desenho de forma vinculada ao ensino de geometria não é uma novidade no ensino, posto já estar presente em obras didáticas do final do Império (como, por exemplo, no conhecido Desenho Linear ou elementos de geometria prática popular, do Barão de Macaúbas). Trata-se, pois, de outra manutenção em meio a uma dinâmica de alterações5. Do mesmo modo, mesmo ausente na letra da lei, a expressão Geometria Prática continuava a frequentar o título de manuais como os de Olavo Freire (a primeira obra didática para o ensino primário de geometria em tempos republicanos, publicada em 1894)6. Agora, no tempo dos Grupos Escolares, porém, a geometria prática passa a ser caracterizada pelas construções geométricas com régua e compasso, enquanto que o desenho, apartado, torna-se desenho natural, em que se observam e desenham objetos da vida da criança e não mais as figuras geométricas. Se a reforma de 1905 estabelece, além dessa dissociação entre geometria e desenho, uma inversão no desenvolvimento dos conteúdos de ensino da geometria (passa-se a iniciar o ensino, nos primeiro e segundo anos, pelo estudo das figuras espaciais até chegar aos elementos de geometria plana, nos terceiro e quarto anos) que se mantém até meados do século XX, a reforma de 1925 insere no programa uma nova matéria, Formas, para os dois anos iniciais, “configurada como ensino intuitivo, prático, de exploração, manipulação de objetos, sem denominações e construções”, reservando aos últimos dois anos a matéria geometria, “caracterizada por definições, propriedades geométricas, construções com utilização de régua e compasso e medidas de áreas e volumes.

Marcas da geometria escolar no ensino primário da época dos Grupos Escolares são, portanto, o novo significado atribuído à expressão Geometria Prática, anunciando a “chegada de instrumentos de construção ao ensino de geometria primário” e “a separação de conteúdos e procedimentos de ensino da geometria e do desenho, num primeiro momento, e de geometria e formas, num segundo período”.

Fica-se com a impressão, portanto, a partir das argumentações e análises de Silva e Valente, que, aparentemente, o ensino de geometria não estaria completo, ou não seria adequado, se a abordagem mais intuitiva, mais elementar, mais introdutória, mais prática (qualquer que seja o sentido que se dê a este último termo) não fosse transcendida por uma perspectiva mais sistemática, como que iniciando uma abordagem formal e, em decorrência, mais rigorosa (do ponto de vista tradicional em Matemática) dos objetos da geometria. Essa perspectiva, de forma clara, mas vestida com uma roupagem emprestada da Psicologia que se alia às perspectivas matemáticas vistas como modernas e altamente rigorosas – a proposta de Bourbaki – será o tema do terceiro capítulo da coletânea organizada por Silva e Valente: chegamos aos tempos da Matemática Moderna.

O Movimento Matemática Moderna (MMM) foi, como se sabe, tema de um projeto de grande envergadura conduzido pelo GHEMAT, Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática no Brasil, coordenados (pesquisa e grupo) por Valente e do qual participaram ativamente os autores dos três primeiros capítulos do livro aqui resenhado. Boa parte dos estudos em História da Educação Matemática sobre esse tema, principalmente em tempos mais recentes, foi desenvolvida dentro desse projeto e, portanto, essa experiência prévia permite que uma síntese aprofundada desse período e, nele, do MMM, seja feita na produção mais recente de Silva e Valente. A familiaridade dessa experiência prévia, me parece, faz com que temas como o estruturalismo na matemática e a abordagem piagetiana a este estruturalismo, bem como uma história da constituição e desenvolvimento do MMM, sejam apresentados de modo breve, mas adequado em seu detalhamento, de modo a conduzir o leitor para a discussão sobre a geometria nesses tempos de modernização do ensino.

Dos livros didáticos para o ensino primário destacam-se aqueles produzidos por Anna Franchi, Lucília Bechara Sanchez e Manhúcia Perelberg Liberman7, “verdadeiros best-sellers do ponto de vista da quantidade de exemplares vendidos ao tempo do MMM”. Sintetizando, os autores desse capítulo afirmam que “numa análise breve, pode-se dizer que, pelo menos em termos das normas para o trabalho pedagógico, altera-se substancialmente a organização dos conteúdos escolares matemáticos a serem ensinados para as crianças. Ainda que os dois primeiros livros desse Curso Moderno de Franchi, Sanchez e Liberman não abordem – ou tratem de forma brevíssima, como no caso do segundo volume – o tema geometria, o terceiro volume, no seu item Noções de Geometria, inaugura “o estudo de conceitos topológicos como dentro, fora, aberto e fechado, regiões, que se caracterizam como inovadores para o ensino primário. […] [e] pode-se dizer que a articulação entre os conceitos topológicos e a geometria euclidiana se dá por meio da linguagem dos conjuntos”.

A disposição em incluir temas da topologia – ou apostar numa abordagem topológica em detrimento da perspectiva euclidiana, apenas –, que serviria para outras coleções e livros do mesmo período, radica-se na proposta fundamentadora do MMM, estruturalista (e) piagetiana8, cuja ênfase foi marcada por três eixos matemáticos que guiariam a forma dos programas escolares e suas diretrizes psicopedagógicas: as estruturas algébricas, as noções topológicas e a relação de ordem.

A cultura escolar estabelecida, com seus valores, concepções e estratégias arraigados, entretanto, subverte homeopaticamente essas disposições revolucionárias, e acentua, mesmo nesses tempos de modernização – que não demorarão muito para se exaurir –, a abordagem euclidiana: trata-se, aqui, de outro exemplo de como as alterações e manutenções – cerne dos estudos historiográficos, reitero – ocorrem no universo da escola:

Mesmo em meio a um contexto revolucionário de propostas de mudança da matemática escolar, [sintetizam os autores], o MMM encontrou o cotidiano pronto para incorporar novos elementos da geometria sem que efetivamente tenha sido abandonada a referência da geometria euclidiana. Por entre as páginas e páginas dos livros didáticos que enfatizavam os elementos da teoria dos conjuntos, logo viria a geometria com os primeiros itens da topologia. Mas esses elementos mesclaram-se, servindo como rápida introdução para o estudo das figuras geométricas [numa abordagem] euclidiana (PINTO; VALENTE in SILVA; VALENTE, 2014, p. 81-2).

A experiência dos autores sobre o MMM e o ensino de determinados conteúdos matemáticos na órbita desse movimento, já o dissemos, permite que temas muito diversificados sejam abordados de forma sintética, mas correta e adequada para permitir um encadeamento de ideias que, em consequência, retrata, em sua dinâmica de alterações e manutenções, o ensino de geometria no ensino primário brasileiro nas cercanias dos anos de 1960. Essa mesma experiência, porém, pode justificar o que eu percebo como sendo um certo afastamento em relação ao leitor que se tem em mente para o livro: o professor que ensina matemática.

Dos três capítulos até aqui analisados, este, o terceiro, é o que mais se aproxima de uma abordagem acadêmica – seja em sua forma, seja no modo de tratar a literatura que surge como apoio às ideias apresentadas ou, ainda, no que diz respeito aos conteúdos (ou, mais propriamente, à abordagem proposta para os conteúdos) tratados na escola sob a égide do MMM. Essa opção pelo tom – mais acadêmico que o dos dois primeiros capítulos9 – não é, sob meu ponto de vista, tão problemática para o público-alvo posto que, embora mais cifrada em seus conceitos, a elaboração textual é sempre clara. Entretanto, a alusão demasiado frequente a conceitos aparentemente desconhecidos (ou, pelo menos, mais distantes) dos professores que ensinam matemática é, sim, problemática. Notemos, por exemplo, o uso reiterado do termo topologia e suas variações (estruturas topológicas, estágio topológico, conceitos topológicos, distinção entre geometria euclidiana e topologia etc)10. Sabe-se que o professor que ensina matemática não necessariamente passou pelos bancos escolares em cursos de Licenciatura em Matemática, e mesmo aos licenciandos em Matemática, na quase totalidade dos cursos atualmente vigentes no país, não é oferecida a disciplina Topologia, nem sua introdução mais óbvia na cadeia dos conteúdos matemáticos sistematizados, o tratamento dos espaços métricos. Sem esse feedback, esses leitores potenciais dificilmente darão conta de, com esse capítulo, entender o que subjaz à proposta do MMM e, em decorrência, terão dificuldade de identificar, no tratamento dos livros da época, por exemplo, a diferenciação ou aproximação subversora entre euclidiano e topológico. A experiência dos autores, obviamente, permitiria tratar com mais detalhamento esses termos e expressões aparentemente delicados sem comprometer o fluxo do texto. Poder-se-ia, talvez, sugerir ao leitor-alvo, de forma mais incisiva, leituras complementares ou, ainda, incorporar ao livro um apêndice com uma série de verbetes (ao modo de um pequeno glossário) que serviria de guia básico para esses leitores. Ficam, aqui, essas sugestões para as edições futuras que, certamente, serão produzidas.

O último e o mais longo dos quatro capítulos do livro, de autoria de Paulo Figueiredo Lima e João Bosco Pitombeira de Carvalho, é, segundo minha perspectiva, oposto, em seu tom, ao capítulo anterior. Seu subtítulo, Conversas com o professor que ensina matemática, anuncia, exatamente, o que o leitor encontrará nele: um diálogo muito cuidadoso com os professores sobre os conteúdos e os modos de trabalhar esses conteúdos nas salas de aula do ensino inicial. Os temas abordados são bastante variados: a ideia de dimensão em geometria, as representações gráficas, as projeções, as perspectivas e a classificação das figuras geométricas. O tratamento é rigoroso, mas não formalizado a ponto de afastar o leitor não muito familiarizado com a matemática. Ao contrário, o capítulo foi elaborado ao modo de um guia que pode auxiliar professores, futuros professores e até mesmo autores de livros didáticos em suas dúvidas ou intenções de produzir materiais ou discutir temas relativos ao ensino de geometria. A experiência de ambos os autores desse capítulo não só quanto à pesquisa em Matemática ou em Educação Matemática e – talvez mais decisivamente – a vinculação de ambos à avaliação de livros didáticos de matemática brasileiros, no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), resultam num texto cujo viés é mais de natureza didática que propriamente historiográfica: o capítulo ensina e esclarece alguns elementos básicos de geometria que constam dos atuais programas de ensino para a escolaridade inicial, e faz isso de forma muito clara. Assim, ainda que destoe dos demais capítulos em sua natureza, dialoga com eles em sua intenção de ter como interlocutor o professor que ensina matemática.

A conclusão dessa sequência de esforços para compreender o ensino de geometria e as dinâmicas de transformação desse saber escolar ao longo do tempo sintetiza alguns ingredientes fundamentais discutidos no livro, e enuncia, de forma clara, aquilo que penso ser uma das maiores contribuições do estudo. Trata-se de uma caracterização do fazer do professor que ensina matemática que, embora já tenha sido referenciada por Kaleff em sua apresentação ao texto, nesse momento, nas conclusões, ganha densidade por surgir como resultado da série de construções argumentativas que ocuparam todo o volume: a geometria escolar constitui-se num percurso pleno de contraposições e incorporações no qual foram elaborados e reelaborados ingredientes didático-pedagógicos que a constituem num saber transitório que faculta o acesso ao saber sistematizado da geometria, à geometria da matemática. Essa caracterização da geometria escolar, por sua vez, permite que se compreenda “que o professor que ensina matemática não é um especialista em matemática; sua especialidade liga-se à condução dos alunos a progressivamente apropriarem-se de uma cultura transitória que dá acesso aos saberes científicos”. Essa conclusão, embora não decorra apenas dos estudos historiográficos acerca do ensino de matemática que encontramos nessa coletânea organizada por Silva e Valente, pode apoiar-se de forma inequívoca nesses estudos, o que torna esse livro uma contribuição preciosa não só para professores que ensinam matemática ou professores em formação (que ensinarão matemática), mas aos interessados em História da Educação Matemática e aos pesquisadores que, mantendo ou não uma aproximação com a historiografia, dedicam-se ao estudo da formação e da atuação docente no Brasil.

Notas

1 O representante desse viés é o Manual Enciclopédico para uso das escolas de instrução primária, do português Emílio Achilles Monteverde, que parece fazer escola para outros livros (como, por exemplo, os livros do brasileiro Souza Lobo).

2 Pode-se notar, por exemplo, que em seu Reflexões e notas sobre a educação, do final do século XVIII, Condorcet já explicita um programa de estudos, estabelecendo a ordem a ser seguida no ensino. A primeira das ciências a ser estudada seria a aritmética, seguida da geometria (“explicar-se-lhe-iam [às crianças] as proporções sobre as linhas, sobre as superfícies, sobre os sólidos que se podem entender sem a teoria das proporções” (GOMES, 2008, p.222). Lacroix, um contemporâneo muito próximo de Condorcet, em sua obra autobiográfica sobre a instrução pública francesa no século XVIII, confessando sua ignorância acerca do ensino das crianças na primeira idade, mas não abrindo mão de opinar sobre isso, sentencia que seria conveniente, quanto às primeiras instruções dadas na infância, “empregar tanto quanto possível o testemunho dos sentidos” (LACROIX, 2013, p.147), no que não há discordância com o Marquês. Em seguida, porém, complementa: “A Geometria é, talvez, de todas as partes da Matemática, aquela que se deve aprender primeiro. Ela me parece muito adequada para atrair as crianças, desde que seja apresentada principalmente com relação às suas aplicações, tanto teóricas quanto práticas. As operações de traçado e de medição certamente agradarão aos alunos e os conduzirão, em seguida, como que pela mão, ao raciocínio. Aqui [neste meu livro] não é lugar para desenvolver essas ideias, que estão expostas de maneira tão verdadeira quanto eloquente no final do segundo livro do Emílio”. Para Lacroix, o costume de ensinar primeiro a ciência dos números – a Aritmética – prevaleceu apenas por serem mais frequentes as aplicações do “cálculo numérico” (LACROIX, 2013, p. 244-5).

3 Os tempos revolucionários, na França, marcaram também uma nova apreensão ao adjetivo elementar que, frequentemente, caracterizava os livros de Matemática. Antes desse período, a expressão Elementos de… indicava, mais frequentemente, obras cujo modelo era os Elementos de Euclides, ou seja, obras nas quais da apresentação e discussão de uma série de resultados essenciais a uma certa área decorriam outros resultados, também centrais a essa área. O conjunto dessas proposições essenciais com suas decorrências, ao qual algumas vezes vinculavam-se exemplos, constituía o corpo de uma determinada disciplina, seus elementos (no sentido euclidiano). Ao final do século XVIII, Elementos de… passaram a indicar livros elementares, no sentido mais usual do termo: obras voltadas ao ensino, com os conteúdos básicos de um determinado campo (Aritmética, Álgebra, Geometria etc.).

4 Opera exatamente nesse sentido a consideração feita por Lacroix ao discutir suas intenções, como autor, em seu Elementos de Geometria: “Se a dificuldade de fazer bons tratados, em qualquer que seja a ciência, é muito grande, há várias razões que a aumentam ainda mais com relação aos tratados de Geometria: primeiro, a concorrência com um autor consagrado pelas marcas da antiguidade (Euclides), sempre perigosa para um autor moderno, independentemente das razões que este último possa trazer em favor do plano que adota […]” (LACROIX, 2013, p. 221-2).

5 Já na primeira reforma do ensino primário nos Grupos Escolares, ocorrida em 1905, “a proximidade [da geometria] com o desenho não existe mais, as figuras geométricas que eram estudadas e desenhadas como passo inicial no processo de aquisição para desenhos aplicados não constam mais da lista de conteúdos”.

6 Além da obra de Olavo Freire, este segundo capítulo de Silva e Valente considera, também, a coleção (composta de quatro volumes, um para cada ano) Manual do Ensino Primário, de Miguel Milano.

7 Trata-se da coleção Curso moderno de matemática para a escola elementar, cujo primeiro dos cinco volumes foi lançado entre 1966 e 1967 (as edições publicadas quando já em vigor a lei 5692 têm o título alterado para Curso moderno de matemática para o ensino de 1º. grau, atendendo à nova nomenclatura da seriação escolar, imposta a partir de 1971). Um dentre os tantos diferenciais que tornam emblemática essa coleção é a formação das autoras: “a elaboração de obras didáticas para o ensino das primeiras letras, em especial aquelas de matemática, até meados da década de 1960, não tem autoria de professores formados em cursos de licenciatura em matemática. Liberman, Franchi e Bechara têm essa formação”.

8 De acordo com Inhelder e Piaget, segundo os autores deste capítulo, “a criança passa primeiro pelo estágio topológico, antes do euclidiano, na apropriação do espaço. /…/ Dever-se-ia [então] abandonar a milenar ideia do ensino dos rudimentos dos elementos de Euclides, voltando-se a atenção para os elementos de topologia”. 9 Notemos que os dois primeiros capítulos, ainda que não tenham um “tom acadêmico”, valendo-se, ao contrário, de uma linguagem e de um modo de mobilização de conceitos mais próximos à linguagem usual – conseguem prender tanto a atenção do especialista quanto do leigo interessado nos temas neles apresentados, sem que haja concessões quanto à profundidade, pertinência ou correção das ideias discutidas, ainda que alguns elementos mais propriamente teóricos – digamos assim –, reconhecíveis à comunidade de pesquisadores, mas estranhos ou não usuais a outras comunidades, fiquem necessariamente subjacentes, dada a opção por um determinado público-alvo. 10 A mesma consideração se aplica para outros termos, próprios da linguagem matemática, como Estruturas Algébricas e ordem, por exemplo, mas obviamente não se aplicam a termos como conjuntos, ângulos, retas perpendiculares etc, que frequentam a escolarização em todos os níveis, enquanto aqueles, quando muito, frequentam apenas os cursos superiores de Matemática, sendo, entretanto, mais essenciais para entender a proposta do MMM, tema do capítulo.

Referências

CARVALHO, J. M. de. A formação das almas: o imaginário da república no Brasil. São Paulo: Companhia das Letras, 2006. CONDORCET. Cinco Memórias sobre a instrução pública. São Paulo: Editora UNESP, 2008. GOMES, M. L. M. Quatro visões iluministas sobre a educação matemática. Campinas: Editora UNICAMP, 2008.

LACROIX, S. F. Ensaios sobre o ensino em geral e o de matemática em particular. São Paulo: Editora UNESP, 2013. LIMA, P. F.; CARVALHO, J. B. P. de . A Geometria Escolar hoje: conversas com o professor que ensina matemáticas In: SILVA, M. C. L. da; VALENTE, W. R. (Org.). A geometria nos primeiros anos escolares: história e perspectivas atuais. Campinas: Papirus, 2014. p. 83-128.

MONTOITO, R. Euclid and his modern rivals (1879), de Lewis Carroll: tradução e crítica. 2013. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) – Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência, Faculdade de Ciências, UNESP, Bauru, 2013.

MONTOITO, R.; GARNICA, A. V. M. Ecos de Euclides: notas sobre a influência d’Os Elementos a partir de algumas doutrinas filosóficas. Educação Matemática Pesquisa. São Paulo, v. 16, n. 1, p. 95-123, 2014.

PINTO, N.B.; VALENTE, W.R.. Quando a Geomeria tornou-se moderna: tempos do MMM. In: SILVA, M. C. L. da; VALENTE, W. R. (Org.). A geometria nos primeiros anos escolares: história e perspectivas atuais. Campinas: Papirus, 2014. p. 65-82.

SILVA. M.C.L. da; VALENTE, W.R. A Geometria nos Grupos Escolares. In: SILVA, M. C. L. da; VALENTE, W. R. (Org.). A geometria nos primeiros anos escolares: história e perspectivas atuais. Campinas: Papirus, 2014. p. 41-64.

VALENTE, W.R.; SILVA, M.C.L. da. Primórdios do Ensino de Geometria nos Anos Iniciais. In: SILVA, M. C. L. da; VALENTE, W. R. (Org.). A geometria nos primeiros anos escolares: história e perspectivas atuais. Campinas: Papirus, 2014. p. 17-40.

Antonio Vicente Marafioti Garnica – Docente do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da UNESP de Bauru e dos Programas de Pós-graduação em Educação Matemática (UNESP-Rio Claro) e Educação para a Ciência (UNESP-Bauru). Endereço para correspondência: Departamento de Matemática. Avenida Luiz E. C. Coube, s/n. 17033-360. Bauru-SP. E-mail: vgarnica@fc.unesp.br.

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Educação e tecnologias: o novo ritmo da informação – KENSKI (Bo)

1 de abril de 2015

KENSKI, V. M. Educação e tecnologias: o novo ritmo da informação. Campinas: Editora Papirus, 2012. 141p. Resenha de: ASSIS, Luciana M. Elias de. BOLEMA, Rio Claro, v.29, n.51, p. 428-434, abr., 2015.

Em seu livro, Vani Moreira Kenski aborda a relação entre educação e tecnologias utilizando uma linguagem acessível para que, além dos estudantes e profissionais da educação, outros leitores de diferentes áreas, interessados pelo tema, possam compreender conceitos e questões relacionados à educação e às tecnologias.

A autora trata o tema educação e tecnologias de forma abrangente, buscando elucidar, historicamente, os sucessivos avanços tecnológicos ao longo dos tempos, destacando seus reflexos na educação. O livro é composto de seis capítulos e, ao final, apresenta algumas questões relativas a cada capítulo, além de um glossário de nomenclaturas específicas utilizadas na obra.

No primeiro capítulo, Kenski busca situar as relações existentes entre os avanços tecnológicos e as alterações de seus usos nas sociedades em diferentes épocas, pautando-se no conhecimento, no poder e nas tecnologias. Inicia sua abordagem enfatizando que, desde tempos antigos, o homem já utilizava as tecnologias de sua época, garantindo um processo crescente de inovação através de materiais mais potentes, o que possibilitou, para povos mais desenvolvidos tecnologicamente, o domínio e o acúmulo de riquezas.

Ao relacionar presente e passado, Kenski salienta que a relação de ampliar domínios e acumular riquezas não mudou e pode ser retratada através das grandes potências mundiais como, por exemplo, dos países e corporações multinacionais que se preocupam em manter e ampliar poderes políticos e econômicos, investindo grande parte de seu orçamento em pesquisas de inovações para garantir sua hegemonia.

Há, também, uma relação entre educação, poder e tecnologia feita na indicação de que o meio cultural familiar de uma pessoa determina seu comportamento de forma similar ao modo com a escola exerce seu poder em relação aos conhecimentos e ao uso das tecnologias. Nesse contexto, a escola representa o espaço de formação de todas as pessoas, possibilitando o domínio de conhecimentos necessários para uma melhor qualidade de vida das pessoas. Com a evolução das tecnologias, as qualificações profissionais são alteradas, bem como a forma com que as pessoas vivem, informam-se e comunicam-se.

Por fim, Kenski conceitua tecnologia de duas formas distintas: por meio da relação existente com técnicas e equipamentos; e por meio das novas tecnologias, levando em conta o conceito de inovação.

No capítulo 2, intitulado Tecnologias também servem para informar e comunicar, a autora discorre sobre as TICs para a produção e propagação de informações e, ainda, sobre as novas tecnologias de informação e comunicação, as NTICs, conceituando-as por meio da linguagem oral, da linguagem escrita e da linguagem digital.

Assumindo o fato de que as TICs provocaram mudanças radicais ao convergir para uma nova tecnologia, a digital, Kenski apresenta as redes, citando a internet como sendo o “espaço possível de integração e articulação de todas as pessoas conectadas com tudo que existe no espaço digital, o ciberespaço” (KENSKI, 2012, p.34)

Relata que o avanço das tecnologias digitais define poderes baseados na velocidade de acesso às informações disponíveis nas redes. Além disso, apresenta exemplos concretos de inovações tecnológicas destacando as mudanças que ocorrem socialmente, nas relações econômicas, políticas, financeiras, educacionais e culturais, resultantes do uso intensivo das tecnologias digitais.

No capítulo 3, intitulado Tecnologias também servem para fazer educação, a autora procura estabelecer a relação entre educação e tecnologias, focando a socialização da inovação, ressaltando que “a presença de uma determinada tecnologia pode induzir profundas mudanças na maneira de organizar o ensino” (KENSKI, 2012, p. 44). Como exemplo, associa mídias e educação, uma vez que as tecnologias como a televisão e o computador provocaram novas mediações entre a abordagem do professor, a compreensão do aluno e o conteúdo veiculado, isto é, a imagem, o som e o movimento oferecem informações mais realistas em relação ao que está sendo ensinado. Acrescenta ainda que, mais importante do que as tecnologias e os procedimentos pedagógicos mais modernos, é a capacidade de adequação do processo educacional aos objetivos que levam as pessoas ao desafio de aprender. Nessa direção, traz exemplos de novas formas de aprender apoiando-se nas redes digitais, cuja dinâmica e capacidade de estruturação colocam os participantes de um determinado momento educacional em conexão, aprendendo e discutindo coletivamente de forma igualitária.

No que tange os espaços coletivos do uso educacional, Kenski enfatiza a necessidade de manutenção e segurança por parte das instituições de ensino, a fim de se evitar um colapso em suas atividades online. Para tanto, faz algumas considerações sobre experiências em que o uso das mídias digitais permite a jovens autodidatas da nova geração digital facilidades de acesso às informações disponíveis nas redes para pesquisar e aprender o que lhes interessa. Além disso, faz críticas quanto ao uso inadequado da tecnologia no âmbito educacional, utilizando exemplos de projetos de ensino pouco eficazes, de profissionais despreparados para o uso pedagógico das tecnologias, de projetos de educação a distância oferecidos via broadcasting1 e de cursos a distância em bases digitais que não levam em conta as especificidades educacionais e comunicativas, não atendendo às necessidades de aprendizagem dos alunos.

No capítulo 4, A educação serve para fazer mais do que usuários e desenvolvedores de tecnologias, explora a “contradição existente na educação escolar que forma cientistas, pesquisadores e desenvolvedores de tecnologias, mas que também forma usuários e os que se colocam contra o seu bom uso na educação” (KENSKI, 2012, p.9)

Segundo a autora, a escola é a instituição social de maior importância, pois em todos os momentos de mudanças sociais fornece a escolaridade mínima que permite a uma pessoa o letramento necessário para mantê-la atualizada e informada quanto à utilização das informações disponíveis. Faz uma reflexão sobre a função da escola na sociedade atual que, segundo ela, consiste em garantir aos alunos-cidadãos a formação e aquisição de novas habilidades, atitudes e valores na chamada Sociedade da Informação2. Cita, como exemplo, o Livro Verde, documento em que são apresentadas as bases para a discussão de um novo projeto social em todas as áreas do conhecimento, afirmando que, em relação à educação, deve-se “considerar um leque de aspectos relativos às tecnologias de informação e comunicação. A começar pelos papéis que elas desempenham na construção de uma sociedade que tenha a inclusão e a justiça social como uma das prioridades” (TAKAHASHI, 2001, p. 45 apud KENSKI, 2012, p.65).

Apresenta exemplos de projetos e propostas de ensino, mediadas pelas TICs e realizadas em sistemas públicos de ensino, evidenciando o quão criativo e dinâmico pode ser o processo educacional em redes, e analisa o centro do processo educativo nesse contexto, indagando se é o conhecimento, o aluno ou são as tecnologias. Outro ponto interessante presente nesse capítulo é a apresentação de como se deu a trajetória da educação, desde o final do século XX até os dias atuais, focando as diferenças entre a educação a distância e a educação presencial, principalmente na forma em como ambas foram e são ofertadas. No que concerne à educação a distância, a autora faz uma associação da possibilidade de deslocalização espaçotemporal possível pelas novas tecnologias digitais, sobretudo, a internet. Para compreender a educação a distância, caracterizada pelas mídias digitais, isto é, utilizando e-mails, fóruns, chats, tele e videoconferência, por exemplo, apoia-se em Jacquinot (1993), que analisa a questão da distância em educação a partir de cinco aspectos diferentes: o geográfico, o temporal, o tecnológico, o pisicossocial e o socioeconômico. Por fim, esclarece dúvidas sobre as diferentes terminologias utilizadas para a realização de projetos educacionais por meio das tecnologias digitais, por exemplo, educação online, educação a distância e e-learning, além de apresentar certas características da educação a distância.

No capítulo 5, intitulado Das salas de aula aos ambientes virtuais de aprendizagem, a autora fala em como as TICs são utilizadas em atividades de ensino, destacando o uso do computador e da internet ao citar os cursos de autoaprendizagem. Nesses cursos, o computador desempenha o papel de professor eletrônico através de programas tutoriais que funcionam como livros. Cita, ainda, cursos oferecidos em cbt (computer based training) e wbt (web based training), que treinam os alunos com base na resolução repetitiva de exercícios. Para Kenski, essa forma de utilização das TICs baseia-se em uma visão tradicionalista de ensino, na qual o aluno e o contexto em que ocorre a educação não são levados em conta.

Para discutir o grau de interação em atividades educativas, a autora apoia-se em Moore (2004), que apresenta o conceito de distância transacional com o qual tematiza a distância física e comunicativa que toma lugar em sala de aula. Moore considera que a aprendizagem será mais significativa quanto maior for o grau de interação e comunicação entre os participantes do processo. A exemplo disso, visando obter o máximo de aproximação nas atividades realizadas a distância, por exemplo, Kenski cita Romero Tori (2002):

Enquanto vemos muitos cursos tradicionais sustentando-se única e exclusivamente na proximidade natural de suas aulas presenciais, a educação mediada pelas tecnologias não para de evoluir e de criar condições para a efetiva redução de distâncias. Esse avanço tecnológico pode ser utilizado não apenas em cursos a distância, mas em cursos presenciais (TORI, 2002 apud KENSKI, 2012, p.89).

Nesse contexto, Kenski discute possibilidades que podem ser utilizadas tanto no ensino presencial como no ensino a distância, concluindo que o uso intensivo de tais possibilidades fortalece a interação comunicativa e a relação entre ensino e aprendizagem. Comenta sobre as mudanças de percepção sobre as TICs no ambiente escolar, usando como exemplo a inserção do computador quando isso ocorria de forma isolada, considerando-o como mais um equipamento similar à televisão, ao retroprojetor e a outros recursos utilizados nas atividades pedagógicas nas escolas. Com o passar do tempo, após o aparecimento de programas e softwares, os professores e alunos foram treinados de modo a, no contexto de atuação dos professores e de interesse dos alunos, planejarem projetos para a inserção dessas tecnologias nas atividades de ensino. Além disso, os CDs, DVDs, programas interativos, enciclopédias, imagens e sons tornaram o computador um recurso para auxiliar nas pesquisas e trabalhos diferenciados, surgindo novas demandas, inclusive a realização de projetos interdisciplinares.

Entretanto, para a autora, o grande salto entre educação e tecnologias acontece em um terceiro momento, com as possibilidades de comunicação entre os computadores e o surgimento da internet, quando se possibilitou o acesso à informação em qualquer lugar do mundo, ou seja, o ensino mediado pelas tecnologias digitais redimensiona os papéis de todos os envolvidos no processo educacional.

No contexto atual, Kenski afirma que a sala de aula é redesenhada pela evolução tecnológica em um novo ambiente virtual de aprendizagem. Nesse viés, menciona os ambientes virutais de aprendizagem, apoiando-se em Derrick Kerckhove (1999), que caracterzia os ambientes virtuais de aprendizagem como o “modelo idealizado de processo de aprendizagem cooperativo, característico da sociedade digital”. (KERCKHOVE, 1999 apud KENSKI, 2012, p.95)

Kenski cita exemplos de ambientes virtuais de aprendizagem brasileiros como o Teleduc, Aulanet e, ainda, alguns que são de propriedade de empresas e universidades estrangeiras. Explica ainda, de forma detalhada, como ocorre o funcionamento do Teleduc (desenvolvido no Brasil pelo Nied – Núcleo de Informática Aplicada à Educação da Unicamp), bem como suas ferramentas. Para encerrar o capítulo, faz uma reflexão e propõe questionamentos sobre o papel e a função a serem desempenhados pelas nossas atuais escolas e pelos seus professores e alunos, diante das novas realidades educacionais evidenciadas pelo uso das TICs e dos ambientes de aprendizagem.

No último capítulo, Caminhos futuros nas relações entre novas educações e tecnologias, Kenski apresenta uma reflexão sobre as novas gerações caracterizadas por jovens que, desde muito cedo, utilizam meios digitais para todos os fins tendo forte influência no futuro da escola e da educação de modo geral. Comenta como os jogos eletrônicos contribuem para desenvolver certas habilidades e raciocínios nos alunos, a exemplo do espírito de equipe, da escrita e do desenho realizado com ambas as mãos, das capacidades sensoriais e da percepção de determinados aspectos em um ambiente amplamente variado. No âmbito escolar, tais competências e habilidades desenvolvidas pelos alunos podem contribuir para uma educação com novos desafios, exigindo da escola uma reorganização curricular e pedagógica. A autora comenta, também, sobre escolas reais em espaços virtuais, ou seja, formas híbridas e interativas de uso das tecnologias digitais incorporadas em tipos de aparelhos que contenham telas, transformando-os em espaços virtuais de aprendizagem em redes. Faz uma reflexão a respeito do futuro das relações entre a educação e as tecnologias no Brasil, discutindo questões que envolvem a democratização do acesso às tecnologias digitais, como é o exemplo dos softwares livres que “dão origem a comunidades para o desenvolvimento partilhado de programas, objetos de aprendizagem, bibliotecas virtuais e arquivos temáticos em todas as áreas do conhecimento, para o uso nas mais diferentes situações, incluindo o ensino” (KENSKI, 2012, p. 124). Faz, ainda, uma discussão sobre como será a garantia de fluência tecnológica para todos os brasileiros no futuro, enfatizando a necessidade em investimentos em equipamentos, pesquisas permanentes para atualização das tecnologias e uso intensivo de vários tipos de tecnologias, programas e softwares. Ressalta que a escola, nesse contexto, precisa ser vista a partir de uma nova mentalidade, exigindo mudanças em sua estrutura e seu funcionamento, bem como necessita de uma ampla reformulação curricular. A autora encerra o capítulo, fazendo um alerta de que a maioria dos países transformaram a educação em prioridade nacional e que, no Brasil, mudanças já ocorrem no movimento cotidiano de professores, alunos e das pessoas em geral que acessam os novos espaços virtuais de interação, comunicação e aprendizagem, devendo as escolas incorporarem, o quanto antes, essas mudanças no cotidiano de seus cursos.

O livro de Vani Moreira Kenski é uma leitura obrigatória não somente para os interessados em compreender as questões atuais relacionadas com a educação e o uso das mais novas tecnologias, mas também para profissionais de todas as áreas que necessitam compreender o olhar dos jovens que estão, desde muito cedo, inseridos em uma sociedade cuja linguagem predominante é a digital.

Acreditamos que, quando bem utilizadas, as ferramentas virtuais podem trazer inúmeros benefícios para o ensino e a aprendizagem. Entretanto, não basta utilizá-las de forma adequada sem considerar a necessidade de um novo fazer, ensinar e aprender quando tratando das novas gerações. É preciso considerar as novas tecnologias como essenciais no âmbito escolar aos aprendizes dessa nova geração, tornando claro qual papel desempenharão diante do compromisso com a educação e com o futuro da nação, atrelados às transformações sociais cotidianas.

Não podemos deixar de ressaltar uma das conclusões de Kenski ao mencionar que, seja qual for o grau de ensino, as escolas precisam acordar e incorporar os novos movimentos voltados para a tecnologia digital em seus cursos ou, como diz Umberto Eco (2003), ficarão estagnadas e condenadas à obsolescência.

Referências

ECO, U. Alguns mortos a menos. O Estado de São Paulo. Editorial, 10/2008, 2003. JACQUINOT, G. Apprivoiser la distance et supprimer l’absence? Ou les defies de la formation à distance. Revue Française de Pédagogie. Paris, n.102, p.55-67, jan./fev./mar. 1993. KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: o novo ritmo da informação. 8ª ed. Campinas, SP: Papirus, 2012. KERCKHOVE, D. Inteligencias en conexion. Hacia una siciedad de la web. Madri: Gedisa, 1999. MOORE, M. Teoria da distância transacional. Trad. Wilson Azevedo. 2004. Disponível em: <www.abed.org.br/publique/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=23 &sid=69&UserActiveTemplate=2ing>. Acesso em 20 de fev. de 2004. TAKAHASHI, T. Livro verde da sociedade da informação no Brasil. Disponível em: <www.socinfo.org.br/livro_verde/download.htm>. 2001. Acesso em: 20de fev. de 2004. TORI, R. A distância que aproxima. Revista Brasileira de Aprendizagem Aberta e a Distância. Disponível em: www.abed.org.br/publique/cgi/cgilua.exe/sys/s tart.htm?infoid=608&UserActiveTemplate=1por, 2002. Acesso em: 26 de mar. de 2002.

Notas

1 Broadcasting é uma modalidade em que o professor fala em rede para centenas de alunos que estão nas mais diferentes regiões (KENSKI, 2012, p. 57). 2 Fruto da associação do desenvolvimento científico e tecnológico, sobretudo da indústria eletroeletrônica ao processo de globalização econômica (KENSKI, 2012, p. 64).

Luciana M. Elias de Assis – Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Docente da Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas do Campus Universitário de Sinop da Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT), Sinop, MT, Brasil. E-mail: lucianam@unemat-net.br

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O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino fundamental – SELVA; BORBA (Bo)

1 de dezembro de 2014

SELVA, A.C.V. BORBA, R.E.S.R. O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino fundamental. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. Resenha de: KISTEMANN JR., Marco Aurélio. BOLEMA, Rio Claro, v.28, n.50, p.1579-1582, dez., 2014.

Este livro das educadoras matemáticas Ana Selva e Rute Borba, já na sua introdução, revela que a discussão sobre o uso da calculadora nas salas de aula do Ensino Fundamental é atual e controverso, dividindo opiniões nos diversos segmentos educacionais, uma vez que a polêmica se dirige para a questão de como a calculadora pode auxiliar no desenvolvimento de atividades em sala de aula, influenciando positivamente o aprendizado matemático de alunos de séries iniciais.

De acordo com as autoras, algumas defesas do uso da calculadora embasam-se no amplo uso dessa ferramenta em situações matemáticas extra-escolares. Por outro lado, sujeitos que se opõem ao uso da mesma, argumentam que crianças que ainda não dominam as operações aritméticas não devem ser expostas ao uso da calculadora para a solução de problemas matemáticos. Corroboramos a opinião das autoras de que a mera introdução da calculadora, sem reflexões sobre suas reais possibilidades e seus limites, não é suficiente para que essa mídia seja propulsora de desenvolvimento de conceitos matemáticos, na correção de erros e como instrumento de autoavaliação.

Apesar das divergências, as autoras defendem que, se bem utilizada em situações didáticas planejadas com critério, a calculadora constitui-se como ferramenta que pode auxiliar o aluno, por exemplo, na constituição do sistema de numeração decimal, na operação com números naturais e racionais, entre outros conceitos matemáticos. Para guiar suas ações investigativas, Selva e Borba traçam questionamentos centrais buscando investigar se: (i) o uso de calculadora por alunos em séries iniciais inibe o raciocínio dos mesmos; (ii) o uso de calculadora impede avanços matemáticos; e (iii) a calculadora pode auxiliar o desenvolvimento do raciocínio matemático de alunos dos anos iniciais.

No capítulo II, intitulado O que pensam professores sobre o uso da calculadora, fica claro, nas falas das autoras, que o principal responsável pelo uso da calculadora em sala de aula é o(a) professor(a), cabendo a este profissional a decisão final de elaboração de atividades para que os alunos, desde cedo, possam interagir usando a calculadora. Nesse sentido, percebemos que discussões sobre o uso de computadores e calculadoras em sala de aula propiciarão aos professores conhecimentos sobre como e porque utilizarem essas ferramentas enquanto instrumentos de ensino e de aprendizagem. As autoras, neste capítulo, apresentam ainda um levantamento realizado junto a professores que atuam nos 4º e 5 º anos, buscando descobrir se estes propõem atividades e como são as propostas elaboradas para o uso de calculadora no Ensino Fundamental. Esse levantamento tem como escopo analisar, de uma forma abrangente, a concepção de professores com relação ao uso da calculadora, a importância da mesma, as (des)vantagens percebidas quando de sua utilização e quais conteúdos são mais apropriados para serem desenvolvidos com esse recurso didático. Um resultado importante desse levantamento, dentre outros, é o que revela que, embora os professores afirmem reconhecer a necessidade do uso da calculadora em sala de aula, apontando as (des)vantagens de sua utilização, os mesmos reconhecem que não têm feito uso sistemático deste recurso no seu cotidiano escolar.

O que as pesquisas mostram sobre o uso da calculadora dá nome ao terceiro capítulo desse livro, no qual Selva e Borba discutem como e o que dizem os pesquisadores em Educação Matemática sobre o uso de calculadora em sala de aula. Embora defendam que o uso de computadores e calculadoras pode promover uma reorganização da atividade matemática, ressalta-se, ao longo do capítulo, que a calculadora é um mero instrumento coadjuvante e acessório nas atividades matemáticas propostas, uma vez que as tarefas devem ser interpretadas e consumadas pelos alunos.

As autoras relatam que estudos nacionais e internacionais vêm apresentando resultados que demonstram que a calculadora pode exercer um papel importante na compreensão de conceitos matemáticos, explicitando que a calculadora pode e deve ser proposta em sala de aula a partir de situações que estimulem os alunos a refletirem, subsiando também o professor na proposição de atividades matemáticas.

O Capítulo IV, Usando a calculadora em sala de aula, apresenta uma série de seis observações realizadas pelas autoras, em 2006, em uma escola particular em Jaboatão dos Guararapes, Pernambuco, em uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental e de quatro observações em uma turma de 4º ano do mesmo nível e na mesma escola. A escolha por essa escola e essas séries se deve ao histórico – de pelo menos quatro anos – de desenvolvimento de atividades envolvendo a calculadora em sala de aula. Nesta escola buscam-se diversas formas de se superar dificuldades no trabalho com o uso da calculadora, tais como a resistência dos pais, a dependência dos alunos com relação ao uso de calculadora e o despreparo docente para o uso de tecnologias. Em suma, este capítulo mostra exemplos de atividades que podem ser utilizadas em sala de aula com o apoio da calculadora e os momentos prazerosos de aprendizagem resultantes das discussões de conteúdos matemáticos por parte de professor e alunos do Ensino Fundamental de uma escola particular pernambucana.

O capítulo intitulado Como os livros didáticos têm tratado o uso da calculadora, concentra-se no papel desempenhado pelos responsáveis por planejar e elaborar os livros didáticos, bem como no papel daqueles que analisam livros didáticos de Matemática dos anos iniciais e suas propostas concernentes ao uso de calculadora. Para tanto, realizou-se a análise detalhada de coleções de livros didáticos em particular no que se referia às atividades nas quais se observava a necessidade do uso da calculadora, buscando também uma verificação acerca das reflexões que os compêndios didáticos, no que diz respeito ao uso de tecnologias, proporcionam aos professores em suas práticas pedagógicas.

Percebemos também neste capítulo que, embora a importância da calculadora como ferramenta de cálculo seja reconhecida, o seu uso em sala de aula com sua representação simbólica alternativa, perfazendo-se como instrumento de explorações conceituais em cenários variados de resolução de problemas, ainda apresenta-se como alvo de muitos preconceitos, pois muitos profissionais consideram que a inserção da calculadora pode inibir o raciocínio dos alunos, além de gerar a denominada preguiça mental.

O penúltimo capítulo, Outras atividades com calculadora, apresenta propostas de atividades com a calculadora organizadas de forma criteriosa, levando-se em consideração o tipo de atividade, o eixo matemático a que se refere e os conceitos trabalhados. As atividades buscam entre outras propostas: (i) explorar o valor posicional do sistema de numeração decimal; (ii) propor a resolução de problemas com grandezas e medidas; (iii) explorar a divisão como geradora de números decimais e a multiplicação de decimais; (iv) explorar diferentes representações dos conceitos matemáticos e as relações entre operações inversas; e (v) estimular atividades de estimativas e realização de cálculos confirmadores de resultados.

No capítulo que encerra o livro, as autoras enfatizam que o fato da calculadora enriquecer o processo de ensino aprendizagem não significa que se deva extinguir o ensino de algoritmos com o uso de papel e lápis na resolução de problemas matemáticos. Em oposição a essa ideia absurda, as autoras asseveram que o tradicional uso do papel e do lápis permitem também aos alunos evoluir na resolução de um problema, ampliando as possibilidades de estratégias favorecedoras da construção dos conceitos matemáticos que permeiam o algoritmo. Contudo, ressaltam a importância do uso de novas tecnologias no processo de ensino e aprendizagem matemática já nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Para Selva e Borba é fundamental que ocorra a elaboração de propostas pedagógicas que tragam em seu bojo o uso de tecnologias que perpassem todos os níveis e modalidades de ensino, carecendo também de uma contundente conscientização da comunidade escolar como um todo, pais, alunos, professores, e gestores, para a relevância do trabalho envolvendo tecnologias diversas na escola.

Entendemos que a riqueza do tema exposto por Selva e Borba se revela inicialmente quando se ressalta, em diversos pontos do livro, que o uso da calculadora para a exploração de conceitos matemáticos vem desmistificando o papel da calculadora na sala de aula dos anos iniciais. Entendemos que essa desmistificação é gradativa, mas pode levar os agentes educacionais a adquirir uma visão mais abrangente sobre a utilização de calculadora na escola por meio de atividades que promovam a construção de conceitos matemáticos.

Por fim, a riqueza do tema se revela também quando são apresentadas investigações realizadas pelas autoras que demonstram que a presença da calculadora pode ser motivadora para os alunos, gerando um ambiente de reflexões acerca de situações matemáticas que se tornam repetitivas, enfadonhas e dominadas por práticas mecânicas nas quais se utilizam somente lápis e papel. Ao optar por essa tecnologia, ou seja, pela calculadora, aos alunos é dada uma opção distinta da mera aprendizagem de um algoritmo, o que se torna uma ferramenta valiosa para a reflexão sobre conceitos matemáticos, constituindo-se em um recurso pedagógico complementar para as propostas do professor de Matemática.

Marco Aurélio Kistemann Júnior – Doutor em Educação Matemática pela Universidade Estadual de São Paulo (UNESP), Rio Claro, São Paulo. Mestre em Educação pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Rio de Janeiro-RJ. Professor e pesquisador do Departamento de Matemática e do Mestrado Profissional em Educação Matemática, onde lidera o GRIFE/UFJF (Grupo de Investigações Financeiro-Econômicas em Educação Matemática), na Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Minas Gerais, Brasil. E-mail: marco.kistemann@ufjf.edu.br.

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A matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender – NACARATO et al (Bo)

1 de abril de 2014

NACARATO, A. M.; MENGALI, B. L. S.; PASSOS, C. L. B. A matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender. Belo Horizonte: Autêntica, 2011. Resenha de: BATISTA, Paulo Soares. BOLEMA, Rio Claro, v. 28, n. 48, p. 482-484, abr. 2014.

A discussão acerca da relevância das aprendizagens iniciais de matemática não pode ser colocada em pauta inferior no debate sobre o impacto do trabalho com uma ciência que é milenar. Ao pensar nos primeiros contatos dos educandos com a matemática, despontam alguns questionamentos: quais os saberes, trajetórias e práticas dos profissionais que trabalham com esse componente curricular nos primeiros anos da escola básica? Pensando nisso Adair M. Nacarato, Brenda L. S. Mengali e Cármen L. B. Passos formam uma equipe dinâmica de investigação que assume na obra o ofício notável de entrelaçar fios do ensinar e aprender na extensa rede da alfabetização matemática.

O capítulo I inicia-se com uma viagem pela História da Educação, especificamente pelo contexto das reformas curriculares da década de 80, as quais não exprimiram ganhos reais na prática da sala de aula do Ensino Fundamental I (foco do livro). Ressaltou-se ainda a apresentação dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1997) que, segundo as autoras, embora contemplassem novos aspectos para a abordagem matemática, teve sua aplicabilidade comprometida pelo esclarecimento insatisfatório de sua intenção construtivista e pela carga específica das orientações didáticas nele contida, dificultando o entendimento de professoras1 generalistas.

A seção A formação matemática da professora polivalente evidencia as deficiências formativas a nível médio (modalidade Normal) e em nível de graduação (Normal Superior e Pedagogia), no tocante ao trabalho com a matemática das primeiras séries do ensino fundamental. Já em Crenças e sentimentos em relação à matemática e seu ensino, os relatos autobiográficos de alunas da Pedagogia mostram que as experiências das licenciandas com a matemática da escola básica podem moldar a prática profissional da futura professora.

Findando a primeira parte da obra, as escritoras discorrem sobre um novo cenário para aprendizagem de matemática: inclusivo e estimulador da autonomia. Salientam também que a instauração desse novo espaço rompe com paradigmas e acentua os desafios à formação inicial e continuada das polivalentes.

No capítulo II, as autoras seguem com as reflexões sobre autonomia e educação matemática, momento em que caracterizam um ambiente de aprendizagem. A definição é alicerçada nas concepções de Alro e Skovsmose (2006) e Freire (1987), que sugerem o diálogo verdadeiro, em que as vozes dos professores não se sobrepõem às dos alunos.

Entendemos, portanto, que o retorno a esse cenário pode ser entendido como um incessante convite à zona de risco2. Os momentos de leitura e escrita nas aulas de matemática também são enfatizados no capítulo, sendo que a argumentação decorre do seguinte pressuposto: os registros dos alunos têm íntima relação com o movimento de comunicação e negociação de significados matemáticos, o qual é impulsionado pela prática de resolução de problemas.

O capítulo III põe em relevo o papel do registro escrito no processo de alfabetização matemática. Segundo as autoras, a professora alfabetizadora deve atentar para a validade da escrita expressiva das crianças, que mescla afetividade e conhecimento. Outro aspecto abordado é a possibilidade da escrita expressiva transformar-se em transacional, fornecendo subsídios ao educador para conhecimento do progresso de aprendizagem dos estudantes, bem como para o planejamento de intervenções adequadas.

Flashes das aulas da professora Brenda Mengali, uma das autoras do livro, permeiam as diversas seções do capítulo. Mengali investe no trabalho com problemas que se aproximam da realidade infantil, desenvolve a reescrita e análise de textos nas aulas de matemática, estimula argumentações e interações, enfim, inaugura um clima de aprendizagem em que conceitos e operações fazem sentido.

O capítulo IV reitera uma peculiaridade do ambiente de aprendizagem: a produção de significados matemáticos. Para as autoras, muitos significados emergem dos desafios e do estímulo à tomada de posição. Assim, a sala de Mengali é novamente adentrada, podendo-se vislumbrar a rica conexão entre criação de situações-problema e a literatura infantil.

Quanto ao cálculo mental, Nacarato e suas companheiras sustentam ser necessário o distanciamento da concepção adotada no documento PCN (BRASIL, 1997) e defendem a importância do registro escrito. Ratificamos o posicionamento ora apresentado, visto que é imprescindível reconhecer as estratégias pessoais das crianças, bem como respeitar os ritmos individuais de comunicar ideias e aprender a aprender.

No penúltimo capítulo a interdisciplinaridade assume um espaço privilegiado. Nesse sentido, as autoras aproximam modelagem matemática e pedagogia de projetos, com destaque para propostas que explorem as capacidades imaginativa e criativa das crianças, propiciando o desenvolvimento simultâneo de habilidades linguísticas e matemáticas.

Considerando a riqueza de experiências e saberes das professoras dos anos iniciais, o marco inicial do último capítulo é a ampliação do conceito de formação, aproximando o(a) leitor(a) da perspectiva de desenvolvimento profissional, na qual o professor é o principal estimulador de seu aprimoramento. Os tópicos seguintes tratam expressivamente do potencial das narrativas autobiográficas tanto como práticas de formação quanto de pesquisa.

Nesses tópicos, os estudos de Melo (2008), Prado e Damasceno (2007), Freitas e Fiorentini (2007, 2008), entre outros pesquisadores, são destacados no anseio de direcionar rotas possíveis no campo da pesquisa em educação matemática e ressaltar a essência do trabalho do educador: a investigação.

O livro atende plenamente ao propósito de entrecruzar fios diversos na composição da rede de ensino e aprendizagem de matemática nos anos iniciais. Acreditamos, tal como as autoras desta obra apreciável, que a rede mencionada é mágica, cabendo aos profissionais comprometidos com a alfabetização matemática tecê-la dia a dia.

Notas

1 A categoria de profissionais professores das séries iniciais é sempre destacada no feminino devido à ampla atuação de mulheres na docência desse nível de ensino.

2 Alro e Skovsmose (2006) defendem o ingresso de educadores nessa região. Nela, professores e alunos são aprendizes e transitam juntos no campo fértil do imprevisível.

Referências

ALRO, H.; SKOVSMOSE, O. Diálogo e aprendizagem em educação matemática. Belo Horizonte : Autêntica, 2006.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. v.3. Brasília: SEF, 1997.

FREIRE, P. Pedagogia do oprimido. 17. ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1987.

FREITAS, M. T. M.; FIORENTINI, D. As possibilidades formativas e investigativas da narrativa em educação matemática. Horizontes, Bragança Paulista, SP, v. 25, n. 1, p. 63-71, jan./jun. 2007.

FREITAS, M. T. M.; FIORENTINI, D. Desafios e potencialidades da escrita na formação docente em matemática. Revista Brasileira de Educação, Rio de Janeiro, v. 13, n. 37, p. 138-149, jan./abr. 2008.

MELO, M. J. M. D. Tornar-se professor de Matemática: olhares sobre a formação. 2008. 327 f.

Tese (Doutorado em Educação) – Programa de Pós-Graduação em Educação do Centro de Ciências Sociais Aplicadas, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, RN, 2008.

PRADO, G. V. T.; DAMASCENO, E. A. Saberes docentes: narrativas em destaque. In: VARANI, A.; FERREIRA, C. R.; PRADO, G. V. T. (Org.). Narrativas docentes: trajetórias de trabalhos pedagógicos. Campinas, SP: Mercado de Letras, 2007. p. 15-27.

Paulo Soares Batista – Especialista em Supervisão, Orientação e Inspeção Escolar pelo Instituto Superior Tupy/IST – (2012) e licenciado em Matemática pela Faculdade Pereira de Freitas/FPF – (2009). Professor de Matemática na Escola Estadual “Professor Letro”, Antônio Dias, MG. E-mail: psoaresbatista@hotmail.com.

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Proof in Mathematics Education: Research, Learning and Teaching – REID; KNIPPING (Bo)

1 de março de 2014

REID, D.; KNIPPING, C. Proof in Mathematics Education: Research, Learning and Teaching. Canadá: Sense Publishers, 2010. 251p. Resenha de: MAZZI, Lucas Caratto. BOLEMA, Rio Claro, v.28, n.48, p.477-481, abr., 2014 .

O texto de Reid e Knipping tem a intenção de ajudar professores, pesquisadores e estudantes a superar as dificuldades em relação a pesquisas que envolvem provas e a ação de provar1. Para isso, eles apresentam várias investigações acerca do tema, a fim de apresentar distintas formas de abordagem do assunto em questão, deixando a cargo do leitor escolher a perspectiva que mais lhe agrade. O livro está dividido em treze capítulos, e estes, em quatro partes. Na primeira, os autores trazem sobre a história da demonstração, os variados usos dos termos provas e provar no cotidiano, e algumas perspectivas de pesquisas sobre o assunto, de acordo com o que chamam de uma abordagem tridimensional2. Na segunda parte, pesquisas sobre o ensino e aprendizagem da demonstração, atuais e passadas, são apresentadas e discutidas. Alguns estudos empíricos são examinados, o papel da demonstração é avaliado e tipos de raciocínio são apresentados. Na terceira parte, os autores abordam a estrutura da argumentação e padrões de raciocínio e, finalmente, na última parte, são discutidas algumas implicações no ensino, ao que seguem as considerações finais.

No Capítulo 1, Reid e Knipping trazem um pouco sobre a história das demonstrações. Eles apresentam o ponto de vista padrão (the standard view), segundo o qual os gregos seriam os primeiros a utilizarem as provas, com Thales (600 a.C.). Em seguida, outros pontos de vista são introduzidos, como a perspectiva chinesa e indiana. Nestes casos, a demonstração aparece, contudo, de forma distinta da proposta por Euclides. O “Princípio da Retransmissão da Falsidade”3 de Lakatos é apresentado, o mito Euclidiano é discutido e algumas de suas falhas são mostradas.

As palavras proof e proving são comumente usadas. No Capítulo 2, os autores mostram algumas situações de uso e quais sentidos elas tomam. No cotidiano, por exemplo, elas podem ter a função de convencer alguém de algo ou serem usadas para testar se algo está ou não correto. No uso matemático, as provas dão aos teoremas uma validade universal e atemporal. Já na Educação Matemática, as palavras podem ser usadas de maneiras diferentes, sendo elas vistas como um conceito, um objeto ou um processo.

O terceiro capítulo descreve algumas perspectivas de diferentes pesquisadores e oferecem exemplos de cada uma delas. Os autores criaram uma abordagem tridimensional para trabalhar com as diversas perspectivas, facilitando o entendimento e as diferenças entre elas. A primeira dimensão refere-se à filosofia da matemática assumida pelo pesquisador. Ela foca o status ontológico do objeto de estudo da matemática. Tal dimensão é dividida nas visões priorista, infalibilista, quase-empiricista e social-construtivista. A segunda dimensão trata do significado dado às palavras provas e provar. Os sentidos utilizados aqui são: as provas como textos-provas; como um processo de raciocínio ou como um discurso social. Já na terceira dimensão são utilizados termos como ponto de vista estreito e amplo4 com a intenção de caracterizar demonstrações de acordo com os níveis de dedução, convencimento e formalismo. E, por fim, a epistemologia de Balacheff, uma diferente forma de se abordar as perspectivas, é apresentada.

Nos próximos seis capítulos, uma revisão da estrutura da pesquisa em ensino e aprendizagem da demonstração será feita. Os autores começam o capítulo 4 examinando alguns estudos empíricos sobre o ensino e a aprendizagem da prova. Algumas pesquisas sugerem que a maioria dos estudantes e professores considera suficiente, para a validação de uma proposição, um conjunto de exemplos (HEALY; HOYLES, 1998). Outra crença é a de que provas dedutivas não servem como verificação. Chazan (1993) explorou alguns dos possíveis motivos para tal fato. Dentre as razões, as mais comuns foram: esse tipo de prova é apenas um caso particular; pode existir algum contraexemplo na literatura; ou até mesmo a descrença em resultados usados no decorrer da demonstração. Reid e Knipping encerram essa seção reforçando a falta de estudos empíricos em países de língua não inglesa sobre demonstrações.

O papel da demonstração é discutido no Capítulo 5. Como mencionado por De Villiers (1990), tradicionalmente, a demonstração tem função quase que exclusiva de verificação de sentenças matemáticas. Muitos autores defendem que as demonstrações deveriam ser explicativas e não meramente demonstrativas. Uma função importante das provas seria a de exploração. De Villiers (1999) cita que há numerosos exemplos na história da matemática nos quais novos resultados foram descobertos ou inventados de uma maneira puramente dedutiva. A sistematização, a comunicação e a realização pessoal também são apresentadas como diferentes funções das provas. No final do Capítulo, os autores trazem algumas das funções que as demonstrações têm para os estudantes e também para o ensino.

O sexto Capítulo é voltado para quatro tipos de raciocínio que são tidos como relevantes para o ensino e a aprendizagem da demonstração: dedutivo, indutivo, abdutivo e por analogia. O raciocínio dedutivo aplica uma regra geral para concluir um resultado específico que nos leva a um novo conhecimento. Devido ao fato deste tipo de raciocínio ser ensinado para estabelecer certezas, ele é sempre associado à verificação. A indução se opõe à dedução no sentido que parte de casos particulares para obter resultados gerais; usa algo já conhecido para obter algo que é previamente conhecido. O raciocínio abdutivo tem relação com os dois tipos já discutidos de forma que propicia a formulação de novas hipóteses. E por último, o raciocínio por analogia é apresentado em sua possibilidade de fazer conjecturas a partir de semelhanças entre dois casos, um bem conhecido (chamado fonte) e outro menos conhecido (chamado alvo). Vários exemplos de cada tipo de raciocínio são apresentados no decorrer deste capítulo.

A classificação de argumentos e das provas é feita no sétimo capítulo. Os argumentos podem ser divididos nas seguintes categorias: empíricos, genéricos, simbólicos e formais. Os empíricos são aqueles nos quais exemplos são usados de forma não representacional, ou seja, eles sustentam somente casos particulares. Os genéricos utilizam exemplos que representam classes mais abrangentes, ou seja, são aqueles exemplos em que resultados gerais podem ser induzidos. Os argumentos simbólicos são aqueles nos quais incógnitas e números são trabalhados de forma conjunta a fim de se obter algum resultado. E, por fim, os formais são aqueles que apenas símbolos são usados a fim de generalizar algum teorema. Vale a ressalva de que há classes intermediárias entre uma categoria e outra e que os autores trazem exemplos para cada categoria.

A argumentação, que é sempre relacionada com a demonstração em pesquisas em Educação Matemática, é discutida no Capítulo 8. Uma tentativa de definir as palavras argumentação e argumento é feita. Autores como Durval e Perelman sustentam algumas definições para tais termos.

No Capítulo 9, Reid e Knipping trazem discussões acerca de experimentos com o ensino das demonstrações. Um importante nome citado é Fawcett, que trabalha as provas como uma maneira de cultivar os pensamentos reflexivos e críticos, apesar de que seus métodos são considerados, de certa forma, tradicionais. Não é possível descrever um método ou uma receita pronta, embora algumas sugestões sejam feitas.

Na terceira parte do texto são apresentados tipos de raciocínio e de argumentações, de modo que a comparação entre eles seja possível. No Capítulo 10 é estudado o processo da argumentação e sua estrutura. A partir da demonstração do Teorema de Pitágoras, os autores nos mostram os quatro tipos de estruturas de argumentação, descrevendo-os e comparando-os, são eles: a estrutura de fonte; a estrutura de reservatório; a estrutura espiral e a estrutura de aglomeração5, cada qual com suas particularidades, apresentadas a partir de exemplos.

O Capítulo 11 descreve os cinco padrões de raciocínio que têm sido observados em trabalhos empíricos. Eles compartilham certo número de características, contudo, também possuem algumas diferenças. Os padrões são: o ciclo dedução-conjectura-teste; a análise de provas; a verificação científica; a renúncia; a exceção e restrição6.

A última parte do livro traz as conclusões. No Capítulo 12 são apresentadas algumas implicações no ensino, argumentando que elas dependem de como os professores enxergam as demonstrações e de como eles trabalham com as mesmas, se é de forma rigorosa ou não, por exemplo. No Capítulo final, algumas direções para futuras pesquisas são dadas.

Alguns pontos poderiam ser aperfeiçoados nesse livro, como por exemplo, no segundo capítulo, os autores trazem os significados e diferenças dos termos provas e provar, contudo no capítulo inicial os termos já são usados, deixando a leitura um pouco confusa, necessitando que o leitor retome o primeiro capítulo para total compreensão. No final de cada capítulo é feito um resumo do que foi nele discutido. Essas sínteses poderiam ser mais elaboradas, trazendo somente o que realmente importa em cada seção.

Em apenas uma obra, Reid e Knipping conseguiram juntar diversas pesquisas sobre demonstrações, fazendo desse livro um importante referencial teórico para futuras pesquisas. Os variados exemplos fazem com que o leitor entenda as pesquisas e compreenda os diferentes termos utilizados pelos autores. Cada capítulo possui algumas perguntas que instigam o leitor, mostrando que este assunto tem vários questionamentos em aberto e que mais reflexões são necessárias.

Notas

1 Proof and proving

2 Na continuidade desta resenha essa expressão será retomada e explicada.

3 Principle of Retransmission of Falsity, ver Lakatos (1961, 1976).

4 Narrow view and broad view.

5 The source-structure, the reservoir-structure, the spiral-structure and the gathering structure.

6 O ciclo dedução-conjectura-teste começa com uma dedução, que nos leva a uma conjectura, a qual é testada. Os resultados desse teste serão usados para novas deduções, tornando esse processo cíclico. Na análise de provas é incluído um passo em que se busca uma sentença incorreta na demonstração, levando a uma revisão da conclusão. A verificação científica é similar ao que Polya (1968) chama de “verificação de consequência” e são cinco seus elementos: observar um padrão, conjecturar que tal padrão ocorre com certa frequência, testar a conjectura, generalizá-la e utilizar a generalização como base para outros resultados. A renúncia é um tipo de raciocínio parecido com a verificação científica, contudo, é descoberto um contraexemplo para o padrão observado, levando-nos a uma negação da conjectura. E, por fim, a exceção e a restrição nos mostram que é possível considerarmos contraexemplos como exceções à conjectura ou que podemos restringir nossa conjectura de forma que o contraexemplo não mais seja válido.

Referências

CHAZAN, D. High school geometry students’ justifications for their views of empirical evidence and mathematical proof. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, Holanda, NL, v. 24, n. 4, p. 359-397, 1993.

DE VILLIERS, M. The role and function of proof in mathematics. Pythagoras, Durbanville, South Africa, v. 24, 1990, p. 17-24.

DE VILLIERS, M. Rethinking proof with the Geometer’s Sketchpad. Emeryville, CA: Key Curriculum Press, 1990.

HEALY, L.; HOYLES, C. Justifying and proving in school mathematics. Summary of the results from a survey of the proof conceptions of students in the UK. Research Report. Mathematical Sciences, Institute of Education, University of London, 1998.

POLYA, G. Mathematics and plausible reasoning. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1968.

REID, D.; KNIPPING, C. Proof in Mathematics Education: Research, Learning and Teaching. Canada: Sense Publishers, 2010, 251p.

Lucas Carato Mazzi – Mestrando em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, UNESP, Rio Claro. E-mail: lucascarato12@gmail.com.

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Educação e História da Matemática | UECE | 2014

1 de janeiro de 2014

Educacao e Historia da Matematica Hipátia

O Boletim Cearense de Educação e História da Matemática -BOCEHM (Fortaleza, 2014-) é uma publicação da Universidade Estadual do Ceará (UECE) e do Grupo de Pesquisa em Educação e História da Matemática (GPEHM) elaborado por discentes, docentes e pesquisadores que estudam a História da Matemática e sua relação com a Educação Matemática.

O BOCEHM é uma publicação quadrimestral de forma digital e impresso em que está aberto à colaboração de todos aqueles que estão atuando na área de Educação e História da Matemática e desejam participar deste processo de divulgação.

Periodização quadrimestral

Acesso livre

ISSN 2357 8661 (Impresso)

ISSN 2447 8504 (Online)

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A Etnomatemática no Contexto do Ensino Inclusivo – RODRIGUES (Bo)

1 de abril de 2012

RODRIGUES, T. D. A Etnomatemática no Contexto do Ensino Inclusivo. Curitiba: Editora CRV, 2010. Resenha de: SANTOS, Evelaine Cruz dos. BOLEMA, Rio Claro, v. 26, n. 42B, p. 747-753, abr. 2012

Temos direito de ser iguais quando a diferença não inferioriza e direito de ser diferentes quando a igualdade nos descaracteriza.

Boaventura Souza Santos (201[2])

O livro de Thiago Donda Rodrigues é fruto de sua dissertação de mestrado em Educação Matemática, defendida em 2008, e intitulada A Etnomatemática no Contexto do Ensino Inclusivo: Possibilidades e Desafios. O texto é constituído por uma introdução e três capítulos; havendo, ainda, um apêndice com a textualização de uma entrevista concedida por uma professora.

Na introdução, o pesquisador expõe sua trajetória como professor e também comenta sobre as leis cujas brechas dão espaço para que os alunos que necessitam de inclusão não sejam inseridos nas salas de aulas comuns. Trata, ainda, do movimento de inserção de alunos com deficiências em salas/escolas comuns em nível mundial e, então, explicita o objetivo de sua pesquisa, que foi observar, descrever e analisar como professores de uma escola inclusiva lidam com os alunos, na disciplina Matemática, de modo a corroborar o processo de inclusão. A pergunta principal do trabalho foi Como os professores relacionam as ticas de matema e a disciplina Matemática no processo de inclusão numa escola inclusiva?1 O primeiro capítulo, intitulado Experiência, inicia-se com um breve histórico da criação do projeto CIEJA e seus objetivos. O Projeto CIEJA (Centro Integrado de Educação de Jovens e Adultos – São Paulo) foi escolhido como campo de trabalho, dada a opção do autor de buscar uma escola que apresentasse alunos com as mais variadas deficiências2.

O CIEJA foi criado em 2003, como resultado das discussões e avaliações do CEMES (Centro Municipal de Ensino Supletivo) iniciadas em 2001.

[…] A criação desse projeto teve como objetivo promover uma ação educativa considerando as características dos jovens e adultos, contemplando novas formas de Educação e implantando um modelo de educação básica em paralelo com a educação profissional.

O CIEJA foi criado para ser um espaço de convívio, lazer e cultura, e um local onde se discute sobre o mundo do trabalho e cidadania, e também como alternativa de inclusão de jovens e adultos no mundo sócio-escolar. (RODRIGUES, 2010, p. 20) O CIEJA oferece o ensino fundamental por meio da modalidade EJA (Educação de Jovens e Adultos), permitindo o acesso a pessoas com mais de 14 anos. Posteriormente, houve uma ampliação para todos os alunos, com o objetivo de uma escola para todos. Em 2007, estavam matriculados 1308 alunos, sendo 66 com algum tipo de deficiência ou distúrbios genéticos. A escola oferece os dois ciclos do ensino fundamental, compostos por módulos de um ano cada, e cada módulo corresponde a duas séries do ensino fundamental regular. Nos módulos 1 e 2 os professores dão aulas de todas as disciplinas, já nos módulos 3 e 4 há divisão de professores. Da flexibilização dos horários resultou uma configuração das atividades em seis períodos, cada um com duração de duas horas e quinze minutos. Durante o período de aulas não existem intervalos, os alunos comem o lanche oferecido pela escola na própria sala de aula, enquanto fazem as atividades. O espaço físico escolar é adaptado para alunos com deficiências, tendo, por exemplo, rampas, corrimões, portas com larguras adequadas, móveis e telefones públicos adaptados e computadores com softwares próprios para estudantes com deficiência visual, entre outros3.

O foco da pesquisa é o professor, mas também se discute o funcionamento de uma escola que tem como objetivo a inclusão. Foram observados quatro professores: uma professora do primeiro ciclo formada em Pedagogia e três do segundo ciclo, que lecionam Matemática.

Após a apresentação da pesquisa e de seus participantes, todo o conteúdo do caderno de campo é exposto. São descritos sete dias escolares. Em 2006, o autor esteve durante três dias na escola, em 2007, quatro dias4.

Trazer o caderno de campo na íntegra é um diferencial deste trabalho, já que abre a possibilidade de futuras análises por outros pesquisadores, fortalecendo a fecundidade teórica dentro desta área de estudos.

Na descrição do primeiro dia escolar o autor observou cartazes nos murais da escola, e conversou com uma professora de matemática chamada Ana. A partir do relato de sua conversa com esta professora observa-se que, apesar da escola ter investido na estrutura física, não investiu na formação do professor que irá lidar com os alunos portadores de deficiências e de necessidades educacionais especiais. Esses professores têm dificuldades para o trabalho, buscando uma formação com outros professores da escola, mais experientes (p. 23).

A professora Ana disse ao pesquisador que sua maior dificuldade é fazer a ligação entre matemática e vida, e que, para isso, tenta fazer relação com outras disciplinas (p. 24). Interessante observar que, apesar da professora não ter preparação para trabalhar com alunos com deficiências, ela relata que sua maior dificuldade é relativa ao ensino de conteúdos.

O trecho a seguir indica que, apesar de a professora perceber que muitos conteúdos não têm sentido para os alunos, ela acaba se rendendo à questão de cumprimento do currículo: […] Ana já cogitou a possibilidade de não trabalhar toda a matemática prevista no currículo escolar, optando por trabalhar só o que fosse significativo para o aluno e que ele pudesse relacionar com sua vida, mas acabou por continuar seguindo o planejamento e o currículo, pois os alunos iriam para o colegial e precisariam desses conteúdos no futuro. (RODRIGUES, 2010, p. 24).

Segundo o autor, […] Os professores, com o objetivo de trabalhar o que foi programado, não conseguem oferecer aos alunos o tempo de que eles necessitam para aprender, fazendo, então, com que os alunos que têm maiores dificuldades sejam postos de lado, fazendo atividades diferentes das trabalhadas pela turma. (RODRIGUES, 2010, p. 96).

Ao narrar o caso da aluna Tatiane, que nasceu com microcefalia5, o autor apresenta diversas situações de uma pessoa com deficiência e como a escola fez para trabalhar com ela. Essa descrição é um dos pontos ricos do livro. Outro ponto a ser destacado por sua relevância é a apresentação e discussão do caso do aluno Pedro, que perdeu a visão (p. 27), a partir do qual percebemos como o próprio indivíduo, por vezes, não sabe lidar com a situação em que se encontra.

Também, em sala de aula, os professores ainda precisam aprender como lidar com esses alunos e com toda a classe. Observemos parte do relato da aula da professora Antonia: […] enquanto os alunos copiavam da lousa, Antonia ditou o conteúdo que uma das alunas deficientes visuais está aprendendo. A professora ensinou para ela como se escrevem os símbolos da Matemática e os números em Braille. Geralmente, os alunos deficientes visuais fazem atividades paralelas aos outros; porém, quando possível, também participam das aulas com os outros; basicamente quando não é necessário copiar da lousa e resolver as atividades no caderno. (RODRIGUES, 2010, p. 34).

Segundo o autor, a decisão de deixar alunos de lado nas atividades, ou julgar que apenas a convivência com os outros já é o bastante, muitas vezes são equívocos causados pela desinformação de alguns professores que, devido ao preconceito, julgam que esses alunos não são capazes de entender o que está sendo falado, ou que não é necessário que eles efetivamente aprendam algo, bastando-lhes conviver com outras pessoas do ambiente escolar. Em muitos casos os professores buscam formas de trabalhar paralelamente por não saberem como lidar com as diferenças.

No entanto, de acordo com Rodrigues, somente a socialização não implica inclusão: é necessário que os alunos com deficiência tenham educação de qualidade e que os professores consigam trabalhar com todos os alunos.

Outra questão que evidencio relaciona-se ao tempo para cada módulo. Vejamos: Segundo Antonia, há alguns alunos que irão para o próximo módulo; existem outros que pediram para ficar mais um ano e outros reprovarão por não terem condições de acompanhar o módulo III. Uma das alunas disse que fez a vida inteira contas na calculadora, mas que agora não consegue passar para o papel, ‘no lápis é difícil’ (RODRIGUES, 2010, p. 36).

A pergunta é: poucos são os alunos que conseguem aprovação nos módulos (p. 36), então, por que fazer cada série em seis meses? Há que se pensar um pouco mais sobre o tempo para a aprendizagem.

Finalizando minhas considerações sobre esse capítulo, observo que algumas descrições do caderno de campo são vagas ou deixam dúvidas quanto às situações registradas. É, por exemplo, o caso da aluna Arlete, que já havia cursado o ensino médio, portanto não se justifica o fato de Arlete estar, novamente, cursando o Ensino Fundamental (p. 43).

O segundo capítulo, intitulado Analisando a experiência, é redigido em duas colunas, trazendo excertos do caderno de campo (na primeira coluna) e o que a Etnomatemática e a Educação Inclusiva dizem sobre a situação relatada (segunda coluna). Penso que esse tipo de registro em duas colunas pode reforçar a falsa dicotomia entre teoria e prática e, neste caso, a elaboração textual pareceu-me um tanto fragmentada, isto é, em alguns casos não foi possível detectar a relação entre a primeira e a segunda colunas6. Apesar de na segunda coluna o pesquisador trazer alguns comentários sobre a situação relatada na primeira coluna, faltou um diálogo maior entre essas duas partes, além de carecer de uma análise mais ampla das situações apontadas, já que o título do capítulo implica a análise das experiências. No entanto, essa análise mais ampla e o diálogo entre teoria e prática são deixados para o último capítulo.

Intitulado Conclusões e Considerações finais, o último capítulo vem apresentado no formato de duas colunas, com uma análise/confronto dos dados em relação às ideias da Etnomatemática, das teorias sobre inclusão e das legislações vigentes; além de tecer alguns caminhos possíveis para a Educação Inclusiva a partir dessa pesquisa.

O autor relata que, no trabalho de campo, deparou-se com práticas inclusivas e não-inclusivas e, segundo ele: A construção de uma escola inclusiva requer tempo para que as mudanças ocorram, as transformações são gradativas e algumas podem demorar mais que outras para serem feitas.

Por isso, mesmo em escolas que têm como objetivo principal a inclusão, pode-se constatar práticas que não são inclusivas ou que não estão em conformidade com os conceitos da Educação Inclusiva. Essas práticas destoadas devem-se ao fato de que a Educação Inclusiva não é um modelo acabado que só nos cabe implantar no sistema de ensino, mas sim um novo olhar à Educação (RODRIGUES, 2010, p. 85).

As práticas inclusivas detectadas no CIEJA foram: […] o respeito pelas diferentes formas de cultura, a percepção dos saberes dos educandos, o esclarecimento e discussão dos direitos e deveres dos alunos, o desenvolvimento de formas de trabalhar com todos simultaneamente, a percepção das diferenças e sua devida valorização (RODRIGUES, 2010, p. 86).

Mas, também foram encontradas algumas práticas remanescentes da integração, apesar de atribuírem a elas o nome de práticas inclusivas (por exemplo, quando a professora trabalhou com a aluna Tatiane individualmente enquanto os outros alunos realizavam outra atividade). As práticas de integração visam preparar o aluno com deficiência para se enquadrar em um padrão de normalidade imposto. Já a Educação Inclusiva […] não tem como pretensão tornar os diferentes iguais, normalizando-os, assim como não pretende estigmatizar os diferentes fazendo-os inferiores ou superiores por suas diferenças ou poupando-os das atividades escolares também em função de suas diferenças (RODRIGUES, 2010, p. 88).

Ressalta o autor que a imposição de um padrão de normalidade, de cultura, de sociedade ou de saber, nega as diferenças (p. 90). Ao apresentar as práticas de integração ocorridas na escola, salienta o que é proposto pela Educação Inclusiva, fazendo um confronto entre práticas de integração e práticas de inclusão. Por exemplo, quando a professora Antonia diz que para os alunos irem para a próxima série precisam ser preparados e devem adquirir algum tipo de conhecimento, ela, na verdade, está querendo moldá-los segundo um padrão/ nível de saberes (p. 89). No entanto “A Educação Inclusiva não determina níveis de aprendizado para serem alcançados pelos alunos […]; [ela] explora as potencialidades objetivando transgredir os limites de cada um […] (RODRIGUES, 2010, p. 89).

Rodrigues aponta que a inclusão não deve ser pensada apenas pela escola, sendo necessário “[…] a conscientização da sociedade em geral, no sentido de esclarecer os direitos de todos e acabar com a exclusão” (p. 94).

Entendo que o último capítulo seja de extrema valia para professores e educadores, por apresentar as diferenças entre práticas de integração e/ou nãoinclusivas e as práticas de inclusão, além de discutir equívocos usualmente cometidos em salas de aula e apresentar diversos caminhos para a Educação Inclusiva, o que pode contribuir para a reflexão de professores e educadores e suscitar desejos, esperanças e motivação para o exercício de novas práticas educacionais.

Notas

1 O pesquisador Pedro Paulo Scandiuzzi entende que, segundo D’Ambrosio, etnomatemática é o aprendizado e o acúmulo [ticas] de habilidades e criatividade para entender e explicar [matema] os fatos e os fenômenos mediante experiências resultantes do contato com seu ambiente [etno]. As ticas de matema são geradas em diferentes etnos com seus éthos, são organizadas intelectual e socialmente acumuladas, memorizadas e difundidas no próprio espaço e tempo, mas, também, entre ambientes remotos em espaço-tempo.

2 O autor relata as seguintes deficiências: física, visual, auditiva, mental, e, também, microcefalia e distúrbios genéticos.

3 Para uma melhor apresentação da estrutura física e material da escola o livro poderia conter fotografias, como ocorre na dissertação da qual o livro resultou.

4 Não foi justificado o porquê desses dias na escola. Observa-se, quando da explicitação dos dias específicos das visitas, que o pesquisador não ficou em quintas ou sextas-feiras. O autor também não relata mudanças ocorridas na escola, entre o ano de 2006 e 2007, o que poderia enriquecer a descrição do ambiente escolar e das aulas de que participou em 2007.

5 A microcefalia é provocada por uma insuficiência no desenvolvimento do crânio e do encéfalo, que causa redução no tamanho do crânio e do cérebro.

6 Por exemplo, à pág. 61, na primeira coluna, o autor traz um histórico da vida da aluna Tatiane, que nasceu com microcefalia e tem deficiência mental, o que implica limitações físicas e mentais. Tal registro induz a pensar sobre os traumas que o aluno traz para a escola em função de sua história de vida, sobre como as famílias às vezes não sabem lidar com crianças que nascem com problemas de saúde, sobre o fato de a aluna saber falar, mas não falar por vergonha de sua voz e das dificuldades que tem para fazê-lo. No entanto, na segunda coluna, o autor comenta sobre os objetivos da educação, de métodos pedagógicos e da postura educacional da Etnomatemática, descuidando de aspectos significativos, como os que relatei anteriormente.

Referências

LOPEZ, I. Em busca da cidadania global. Entrevista com Boaventura de Souza Santos. 201[2]. Disponível em:<http://www.dhnet.org.br/direitos/militantes/boaventura/ boaventura_e.html>. Acesso em: 5 jan. 2012.

Evelaine Cruz dos Santos – Doutoranda em Educação Matemática pelo Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Estadual Paulista/UNESP, Rio Claro, SP, Brasil. Professora de Matemática da Escola Waldorf São Paulo, São Paulo, SP, Brasil. E-mail: evelainesantos@yahoo.com.br

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Travelling Trough Education: uncertainty, mathematics and responsability – SKOVSMOSE (Bo)

1 de abril de 2012

SKOVSMOSE, O. Travelling Trough Education: uncertainty, mathematics and responsability. Rotterdam: Sense Publishers, 2005. Resenha de: APPELBAUM, Peter. Sobre Incerteza, Dúvida, Responsabilidade e Viagens: um ensaio sobre dois livros de Ole Skovsmose*. Revista Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 359-369, abr. 2012

A natureza crítica da educação matemática representa elevada incerteza. Naturalmente, é possível tentar ignorar esta incerteza. Isto, por exemplo, pode ser feito assumindo que a educação matemática, de alguma forma, pode tornar-se “determinada” a servir algumas funções sociais atrativas quando organizadas em, digamos, um currículo nacional coroado por alguns objetivos bem escolhidos. Mas acho que isso seja uma ilusão. A função da educação matemática não pode ser determinada (ou re-determinada) pela mera introdução de alguns princípios orientadores explicitados no topo do currículo. Mudar o “indeterminismo” da educação matemática não é tarefa fácil. Não existem procedimentos diretos para a “determinação”. As funções da educação matemática dependem dos múltiplos e particulares contextos nos quais o currículo é chamado a agir. Reconhecer a natureza crítica da educação matemática, incluindo nisso todas as incertezas relativas a ela, é uma característica da educação matemática crítica. (SKOVSMOSE, 2005, p.44).

Esta citação de Travelling Through Education, de Ole Skovsmose, é um excelente resumo de muitos de seus trabalhos mais antigos e, ao mesmo tempo, um bom exemplo do que Skovsmose chama, em In Doubt – outro livro recente –, de um conceito explosivo. A Educação Matemática Crítica é, ela mesma, um conceito explosivo, pois algumas tentativas de clarificação dessa expressão frequentemente mostram-se mais complexas e amplas e, talvez, menos claras que a concepção original. Como em inúmeras de suas outras publicações e apresentações, Skovsmose tenta responder ao potencial explosivo desta abordagem a partir de relatos sobre contextos específicos de sala de aula. Outros conceitos explosivos – para ficarmos apenas em alguns exemplos – são reflexão, intenção e ação política. Skovsmose frequentemente vale-se da abordagem filosófica para clarificar esses termos, visando melhor entender o que é possível falar sobre eles, e o que é possível concluir a partir deles. Por conta disso, esses seus livros servem como que para uma introdução à história da filosofia e do pensamento social, tanto quanto como uma provocação para compreender mais profundamente as possibilidades para a educação matemática, em particular, e para a educação, de forma mais geral. A Educação Matemática, durante muito tempo, foi tida como um campo, política e eticamente, neutro, distante de temas como o da justiça social. A concepção hegemônica global sobre matemática torna extremamente difícil introduzir uma educação matemática crítica genuína.

O conjunto das obras de Skovsmose prestou um grande serviço, ajudando as pessoas a questionar seus pressupostos sobre como a matemática funciona em sua estrutura hegemônica. Antes, sequer poderíamos pensar sobre uma educação matemática crítica, que servisse à democracia, à justiça social, ou alguma outra dessas suas intenções, e, mesmo agora, quando essa abordagem pode ser mais profundamente compreendida, ainda esbarra-se no problema de criar uma audiência na qual e a partir da qual este esforço ressoe. A maioria dos educadores matemáticos parece seguir sem pensar muito sobre a forma como os seus esforços podem ou não ser coerentes com suas convicções pessoais. Os dois últimos livros de Skovsmose nos permitem conhecer a trajetória histórica da filosofia e do pensamento social que, por sua vez, nos possibilitam questionar o papel da matemática no projeto de perpetuar concepções muitas vezes equivocadas. Assim, eles nos ajudam a caminhar com Skovsmose na estrada da educação onde “a clarificação de ‘algo’ nos leva a considerar ‘tudo’1” (SKOVSMOSE, 2005, p. 216).

Tendo nos auxiliado a juntar ferramentas e formar um vocabulário que nos permite articular a matemática e a educação matemática em suas potencialidades tanto problemáticas quanto revolucionárias, Skovsmose nos leva a outra discussão. A educação matemática não é mais assumida como tendo uma essência, e a educação matemática crítica pode preocupar-se com as diferentes possibilidades de papéis que a educação matemática desempenha num cenário sócio-político particular. Por exemplo, a educação matemática crítica pode nos ajudar a compreender os modos como a educação matemática estratifica, seleciona, determina e legitima inclusões e exclusões. Ela pode, também, falar sobre si mesma, e indicar os diversos caminhos que o processo de globalização nos leva a percorrer. Além disso, a educação matemática crítica pode tratar da natureza daquelas competências que a educação matemática deve desenvolver. Conhecimento e poder estão conectados, também no que diz respeito à matemática. A aprendizagem, em especial a aprendizagem matemática, pode significar poder, o que facilmente pode passar a significar poder para alguns, já que o processo educativo produz inclusão e exclusão. A esse respeito, Skovsmose argumenta que a educação matemática crítica deve estar atenta à situação do estudante, e considerar o background dos estudantes (Background é outro conceito explosivo). A educação matemática crítica, praticada por educadores matemáticos críticos, deveria, também, estar atenta sobre as possibilidades para o futuro que uma sociedade em particular pode permitir a diferentes grupos de alunos. Um modo de estabelecer uma consciência sobre essas perspectivas é considerar não apenas o background dos estudantes, mas também seus foregrounds. Isto pode nos levar a considerar, mais diretamente, como diferentes sociedades proveem oportunidades (ou dificuldades) para os diferentes grupos, dependendo do gênero, idade, classe, etnia, recursos econômicos e cultura.

A maioria dos educadores concebe a matemática como um conteúdo da prática escolar, mas, concebida como uma disciplina escolar e como um conjunto de práticas culturais, essa matemática torna-se um tópico a ser tematizado pela educação matemática crítica. A matemática em si deve ser considerada – e não apenas de uma perspectiva de ensino, mas também de uma perspectiva filosófica e sociológica – pois ela representa um importante aspecto do desenvolvimento da racionalidade ou da razão, uma enorme variedade de técnicas culturais integradas ao artesanato, às rotinas da vida diária, às ciências, às tecnologias, à economia, ao comércio, à indústria e às conquistas militares em todo o mundo. Mas, além disso, a própria matemática parece representar um aspecto particular da globalização, aquele segundo o qual algumas práticas operam para reduzir ao status de conhecimentos nativos ou indígenas, o que não for conhecimento escolar ou conhecimento legitimado, reforçando, assim, as desigualdades sociais que circunscrevem local versus global. Skovsmose refere-se a estes processos como de segregação2.

Para agir mais diretamente sobre a complexidade da matemática e da globalização, e para responder ao estado atual de práticas de segregação, Skovsmose introduz a noção de matemática em ação, querendo significar uma variedade de técnicas e tecnologias que, em combinação, definem nossa sociedade da informação e estabelecem os espaços nos quais é possível discutir as estruturas de saber-poder em nossa sociedade contemporânea. De um lado, quereremos repensar a natureza da matemática e do pensamento matemático; de outro, podemos identificar os pontos mais significativos da matemática e do pensamento matemático e usá-los quando contestamos a concepção de modernidade e pós-modernidade a partir de um ponto de vista teórico, wittengensteiniano, da matemática-no-uso3. Este trabalho, por sua vez, pode, fundamentalmente, definir a matemática em ação como sendo a matemática. Por exemplo: por meio da matemática podemos representar algumas coisas ainda não existentes e sermos, neste sentido, capazes de identificar alternativas para uma dada situação. Isso não ocorre apenas com a matemática, mas essa é uma característica muito particular dela. A matemática nos permite uma certa liberdade para imaginar possibilidades, gerando conjuntos de situações hipotéticas. Nesse sentido, a matemática é, muitas vezes, um recurso para a inovação tecnológica e para os processos de planejamento tecnológico que desenvolvem algoritmos para tomada de decisão, estando, assim, subjacente a muitos aspectos da sociedade contemporânea. Aqui, temos tanto uma característica definidora da matemática como praticada normalmente por muitas pessoas no mundo, como, implicitamente, uma característica experienciada diariamente, via tecnologias, por ainda mais pessoas no mundo. Esta característica da matemática nos permite considerar um dos focos da educação matemática crítica: o questionamento das práticas sócio-culturais da matemática e o modo como essas práticas se relacionam ao nosso trabalho profissional, em termos dos nossos compromissos com a igualdade, além de servir como base para o desenvolvimento curricular. Quanto ao enfoque teórico, não deveríamos questionar os modos como a tecnologia – como os gabaritos de leitura ótica, os smartphones pessoais, os sistemas de diagnóstico médico, os algoritmos de bem-estar social e qualquer outro uso cotidiano das tecnologias – perpetuam concepções sobre o papel da matemática na definição de conhecimentos e em relação à neutralidade das aplicações tecnológicas? Quanto à base para o desenvolvimento curricular, Skovsmose nos dá exemplos interessantes de maneiras pelas quais os alunos podem aprender ambas, a matemática tradicional e a matemática crítica, ao mesmo tempo, questionando e explorando as tecnologias e os sistemas tecnológicos de tomada de decisão.

Embora alguns possam julgar os exemplos como mera defesa da abordagem das investigações por projetos, os exemplos concretos são bem mais do que meros exemplos possíveis de práticas para as salas de aula: eles nos ajudam a compreender como os alunos podem desenvolver uma compreensão crítica da matemática pautada no currículo vivido4, pautado no desenvolvimento de habilidades e conhecimentos conceituais inseridos numa perspectiva crítica que é radicalmente distinta daquela que poderíamos chamar de educação matemática acrítica ou não crítica. Quando Skovsmose discute a matemática em ação, ele quer que analisemos como as concepções matemáticas são projetadas na realidade. Quando usamos a matemática como base para a tecnologia, criamos dispositivos que, de alguma forma, só são possíveis por meio da matemática.

Em certo sentido, isso já havia sido antecipado no mundo da matemática, mas, agora, essa constatação nos vem de modo muito claro. No entanto, Skovsmose é consciente de que não é possível atribuir à imaginação sociológica as atraentes qualidades atribuídas frequentemente à imaginação tecnológica. Qualquer projeto tecnológico tem implicações que não podem ser identificadas a partir de um raciocínio hipotético. Este é um problema próprio a qualquer tipo de investigação baseada em simulações matemáticas. As implicações das situações realizadas (que são certamente distintas de p), devem ser muito diferentes de q, as implicações calculadas de p. Qualquer raciocínio hipotético pode perder sua credibilidade se tropeçar nos degraus da similaridade, que são construídos no mesmo momento em que a matemática é posta em funcionamento. (É só na bem protegida sala de aula de matemática, onde a realidade virtual dos exercícios define totalmente os problemas a serem resolvidos, que esses problemas não aparecem). O que tendemos a fazer, vivendo em nosso mundovida matematicamente influenciado, matematicamente gerado e matematicamente transformado, é responsabilizar um modelo quando ele falha, ao invés de apreciar o modelo e, ao mesmo tempo, entender os modos pelos quais modelos e representações passam a fazer parte da nossa realidade: “A matemática fundamenta a modulação e a constituição de uma ampla gama de fenômenos sociais e, desse modo, torna-se parte da realidade.” (SKOVSMOSE, 2005, p.90). Vivemos em um ambiente em que interagem, de modo magnífico, modelos baseados numa realidade virtual e uma realidade já construída. Assim, muita tecnologia de informação se materializa em pacotes que podem ser instalados e operar em conjunto com outros pacotes. Todos esses pacotes têm a matemática como ingrediente decisivo. O racional torna-se real, embora nada indique que o real se transforma em racional. Os criadores de modelos parecem justificar-se quanto aos modelos que criam, mas podem alegar não ter nada a ver com as decisões políticas tomadas com os modelos, ou por conta dos modelos.

Quem cria e gerencia o modelo não pode ser responsabilizado pelas decisões políticas tomadas com base no modelo, e os que, do ponto de vista político, são responsáveis pelas tomadas de decisão, afirmam, sempre, ter consultado os especialistas. E assim, em muitos casos, as operações do modelo podem ser mantidas a uma distância conveniente das implicações das ações tomadas com base no e/ou a partir do modelo. As implicações das ações tomadas a partir do modelo dissipam-se do ponto de vista da visibilidade moral. Este é, também, um dos aspectos a ser considerados sobre o modo como a matemática funciona no panorama da tomada de decisão.

Quando consideramos a matemática em ação, consideramos ações. E as ações não podem ser vistas como tendo um valor especial, qualidade, confiabilidade ou credibilidade apenas porque a matemática está nelas envolvida.

Isso leva Skovsmose a considerar o paradoxo da razão: por um lado, a matemática, como uma parte da ciência, parece representar a forma mais refinada de conhecimento. Concebemos a história da matemática como intimamente ligada aos mais impressionantes desenvolvimentos do conhecimento humano e compreensões sobre a natureza. Skovsmose sugere que não devemos considerar a matemática meramente como uma estrutura ou um sistema adequado para processos de modelagem, mas sim como parte de um sistema mais complexo de recursos. Se queremos entender como a ciência opera na sociedade de hoje temos que considerar como o mecanismo da razão opera. Ampliar a visão de tal modo pode não resolver o paradoxo da razão, mas nos ajuda a iluminá-lo. Se não pudermos confiar na razão, uma crítica à razão parece ser necessária.

Paradoxo é outro conceito fundamental no trabalho de Skovsmose. Ele tem falado muito sobre aporia, um conceito recuperado de alguns excertos de Aristóteles e das análises de Platão sobre a irredutibilidade e indecidibilidade de uma ideia. Como parte dessa tradição intelectual, a aporia não é um estado a se superar, visando a recuperar a certeza (seja pela razão, pela força, ou por outros meios), mas uma oportunidade para fazer novas perguntas, para ver as coisas de modos diferentes, e criar novas maneiras de entender a nossa situação, como nos sentimos realizando algo importante, útil, significativo, de forma eficaz e pessoalmente gratificante. No In Doubt, Skovsmose escreve que não é tanto que já não podemos encontrar verdades; o “problema”, ele diz, é que “podemos facilmente ser sobrecarregados com verdades” Na verdade não fazemos nada quando simplesmente estabelecemos uma verdade. “Verdade” é uma coisa muito desinteressante … Verdades interessantes surgem apenas de um processo de busca ou em resposta a alguma preocupação. As verdades interessantes estão vinculadas a uma certa perspectiva. A verdade sem uma preocupação ou uma perspectiva não é, realmente, algo que valha a pena mencionar. (SKOVSMOSE, 2009, p. 103).

Em seus mais recentes livros, Skovsmose está preocupado com o modo como nosso mundo-vida é fabricado pela educação matemática. Considerando a matemática como uma performance, ele indica que devemos nos preocupar com o modo como a matemática organiza as coisas para nós, como a matemática pode estar contaminada por concepções: nosso modo de ver, de ignorar e de acessar o nosso mundo, estando nele, são – no mínimo – parcialmente estruturados pela matemática e pela educação matemática. Nesse sentido a matemática nos dá estratégias, constitui parte dos processos para a tomada de decisão e desempenha papéis significativos na aprendizagem cultural que define nossos gostos e valores relacionados à realidade e ao modo como criamos sentidos, estabelecendo contingências e produzindo objetividades. Assim, parece curioso que alguém possa questionar essa poderosa influência global da matemática e da educação matemática, ao mesmo tempo em que questiona práticas de segregação e estratificação, de inclusão e exclusão, que levam muitas pessoas a ser completamente alijadas de muitos dos conceitos e modelos de raciocínio que a matemática nos promete. Isto é, naturalmente, parte da aporia a que Skovsmose se refere; ao mesmo tempo em que levanta a questão sobre estarmos ou não nos autovalorizando com nossas afirmações sobre a importância da educação matemática. É isso que Skovsmose observa no final do Travelling.

Há a noção foucaultiana de que as práticas profissionais, tais como educação matemática, se autoperpetuam, criando problemas e práticas retroalimentadas numa constante necessidade de especialização profissional.

No entanto, supondo que nossos fazeres têm alguma importância, ao menos para nós e para as pessoas com as quais interagimos, e havendo indicações de que a educação matemática deixa algum tipo de marca no nosso mundovida, devemos aceitar que ela tem condições de dar poder e subtrair poder. Ela tem a capacidade de enrijecer-se e alimentar aspectos problemáticos do desenvolvimento social, mas pode, também, por outro lado, contribuir para a criação de uma cidadania crítica e, deste modo, apoiar ideais democráticos. Os papéis sócio-políticos da matemática não são fixos nem determinados. É nesse sentido que Skovsmose pensa a educação matemática como sendo crítica, e é também neste sentido que ele vê a educação matemática como um conjunto de aporias. A educação matemática crítica não é – nunca foi, ainda que alguns equivocadamente pensem assim – um campo que busca guiar-se pelo progresso ou identificar-se cientificamente com redes de excelência, com as melhores práticas, com os meios mais adequados para se atingir determinada finalidade.

Para trabalhar em educação matemática como educador matemático crítico é necessário preocupar-se com os desafios evocados pela natureza crítica da educação matemática. Desta forma, aqueles que trabalham como educadores matemáticos críticos conduzem seus esforços a partir de um ponto de vista particular, um ponto de vista que, direta ou indiretamente, examina as formas com que os processos de globalização e segregação contaminam a educação matemática, exploram o significado de ir além da modernidade e da pósmodernidade, constroem a matemática como uma matemática em ação, e incluem nessa construção a necessidade de uma preocupação em relação ao poder e ao conhecimento. Estas características do ponto de vista crítico refletem, além disso, a aporetica incerteza em relação às possíveis funções sócio-políticas da educação matemática, que compõem a própria natureza crítica da educação matemática. E esta é, aparentemente, uma dupla aporia – uma qualidade recursiva, auto-reflexiva e aporética dos conceitos explosivos em geral e, em particular, do conceito explosivo que é a educação matemática – que configura a verdadeira complexidade com a qual estamos envolvidos: como uma forma hegemônica de estruturação, a educação matemática não só define o nosso mundo e fabrica a nossa objetividade como é, na verdade, o nosso mundo-vida.

Trabalhar com estas questões é como saltar para fora da Terra a fim de melhor entender o que é a vida na Terra. Mas podemos não ser capazes de sobreviver a um tal processo de investigação… Então, o que devemos fazer? Skovsmose sugere que tomemos a natureza aporética da educação matemática crítica como foco: o Iluminismo presumia uma conexão entre o conhecimento e o progresso, criando a expectativa enganosa de que nosso trabalho, de certo modo, faz diferença. Seríamos capazes de avaliar nossos esforços a partir de critérios pautados no progresso. A situação aporética implica que nenhuma fundamentação, nenhuma crítica da razão (na forma de um apparatus da razão) é suficiente, ainda que não possamos escapar às exigências de uma tal crítica.

Skovsmose afirma que é isso que o leva à pergunta “Como é possível construir uma sensibilidade conceitual para o funcionamento sócio-político da educação matemática e às operações da razão em geral?” (SKOVSMOSE, 2005, p. 214). No Travelling ele sugere nove elementos que deveriam ser temas de nossas preocupações: a matemática, o conhecimento, a reflexão, o aprendizado, os alunos, os conflitos, a matemacia, a segregação e a globalização5. No In Doubt ele se volta para a própria linguagem, sugerindo que estes nove (e outros) termos deveriam pesar significativamente num sistema semiótico de práticas cotidianas, concluindo que esclarecer qualquer um desses termos é uma empreitada explosiva, pois a análise de algo exige considerarmos esse algo em seu contexto, no todo. A aparente impossibilidade de tal trabalho torna-se menos avassaladora ao final do In Doubt, quando Skovsmose evoca o conceito de epoché da fenomenologia, visando a suspender as formas de conhecimento e presunções, dando suporte à percepção direta a fim de estudar a percepção em si. Se tomarmos a matemática e os modos matemáticos de ser e de pensar como características significativas do nosso mundo-vida, podemos, em termos fenomenológicos, reconhecer o desejo aparente de buscar fundamentações, mas, também, de projetar formas de trabalho que exigem refletirmos sobre aspectos particulares de nosso mundo-vida, estando imersos nesse mundo-vida.

E, aqui, podemos começar nossa jornada com Ole Skovsmose: no estudo de nossos mundo-vida, que são tão ricos em incertezas. Skovsmose afirma que nosso mundo-vida está inundado de incertezas, e discute como essa inundação nos leva à questão da responsabilidade. Na verdade, a pergunta existencial evocada pela incerteza é: o que vamos fazer?. Estamos condenados a agir face à incerteza, ou seja, devemos assumir a responsabilidade por aquilo que fazemos, dado o que sabemos e podemos pensar.

Conheci Ole Skovsmose em Berlim, em 1989. Ele era um pesquisador relativamente jovem, com ideias provocativas, e tinha vindo à Alemanha para um seminário de Christine Keitel, apresentar alguns dos seus primeiros trabalhos sobre matemática, tecnologia e democracia. Viajar e compartilhar suas ideias através das culturas já era, então, um aspecto-chave de seus esforços intelectuais.

Eu também era um viajante, um norteamericano vivendo em Berlim enquanto realizava meu doutorado sobre o discurso da educação matemática. Imediatamente percebi a importância da educação matemática crítica e tenho acompanhado de perto o trabalho de Skovsmose ao longo dos anos. Recomendo seus últimos livros e os vejo como uma introdução acessível a muitas das suas ideias. Naquele nosso primeiro encontro, o que me impressionou, enquanto tomávamos café sentados no gramado da Technische Universität, foi a humildade e curiosidade penetrante de Skovsmose; ele não estava interessado em mostrar-se como alguém especial, muito pelo contrário, ele motivava os diálogos interculturais e deles participava, fazendo autocríticas. Na época, senti como se eu, finalmente, tivesse entendido o que alguns antropólogos querem significar com a noção de antropologia como crítica. Nossa conversa não levou nenhum de nós a se tornar um objeto de estudo do outro, mas fomos imediatamente apanhados numa teia de interações Eu-Tu, pensando a matemática e a educação matemática num processo de desenvolvimento. Acredito que os textos de Skovsmose trazem um sabor de diálogo, como aqueles que tive com ele em Berlim. Cada um desses dois livros, dos quais agora apresento a resenha, estende a metáfora da viagem em e pela Educação, enquanto viajamos no e pelo mundo.

Depois de lê-los, o leitor interessado pode, valendo-se das bibliografias, buscar artigos e livros anteriores, escritos durante suas viagens pelo mundo, passando pela Europa, África e América Latina.

Há algo a ser dito sobre os resultados de uma nova educação matemática pós-colonial, que surgiu graças a estudiosos como Skovsmose, acadêmicos preocupados com questões relativas à equidade e ao imperialismo, que dispensaram significativa parte de seu tempo colaborando para além das fronteiras nacionais e culturais. Permanece, na maioria das comunidades nacionais de educação matemática, um forte olhar para dentro, que ignora os tipos de ideias que poderiam resultar de um esforço global em educação matemática crítica.

Mesmo alguns pesquisadores e participantes de conferências internacionais como o ICME (International Congress on Mathematics Education), o CIEAEM (International Commission for the Study and improvement of Mathematics Education), o PME (Psichology of Mathematics Education) etc., em suas apresentações e debates nessas conferências, estão presos nos pântanos de ideologias iluministas e discursos progressistas que, geralmente, ignoram questões relativas à globalização, à segregação, à matematização implícita. Na verdade, desprezam a maioria dos nove nós do discurso da educação matemática crítica que estão no cerne da vida profissional de Skovsmose. Essa constatação, entretanto, não significa que seu trabalho tem tido pouca importância, mas que apenas ele e alguns poucos têm se esforçado para criar o campo da educação matemática crítica. Recebo, então, esses dois livros como uma celebração de sucesso. As histórias que eles trazem são exemplos de comparações internacionais e interculturais, e da reflexão pessoal e analítica que pode acompanhar ou surgir dessas comparações. Os dois livros aqui apresentados são um excelente começo para um cânone deste subcampo, registrando um conjunto de tradições intelectuais, reflexões pessoais e histórias de uma prática que podem ser úteis aos que pretendem aproximar-se da educação matemática crítica. Os que viajam com Skovsmose há mais tempo também têm muito a ganhar com essas novas obras. Esses dois livros são mais acessíveis – financeiramente falando – do que alguns de seus clássicos, como o Toward a Philosophy of Critical Mathematics Education, e incluem novas sínteses de muitas das ideias que o autor tem divulgado em vários textos ao longo dos anos: parece mais fácil pensar sobre essas questões todas se temos à disposição uma atualização tão coerente.

Notas *

Tradução de Thiago Pedro Pinto. Professor da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS), Campus Campo Grande e doutorando do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência da UNESP de Bauru. E-mail: thiagopedropinto@yahoo.com.br.

Traduzido do original On Uncertainty, Doubt, Responsibility, and Perpetual Journeys. Review Essay of Two Recent Books from Ole Skovsmose por solicitação do autor e revisado pelo editor da Revista BOLEMA.

1 A frase em inglês tem um jogo de palavras impossível de manter na tradução: “a clarification of ‘something’ brings us to consider ‘everything’”.

2 Ghettoizing.

3 mathematics-in-use.

4 Experienced curriculum.

5 Mathematics, knowledge, reflection, learning, learners, conflict, mathemacy, ghettoizing, and globalization.

Peter Appelbaum – Doutor em Educação pela University of Michigan, Professor de Educação Matemática e EstudosCurriculares e diretor consultivo da Arcádia University, Filadélfia, EUA. Autor de On becoming a teacher and changing with mathematics (2008) e Children´s book for grown-up teachers: reading and writing curriculum theory (2007). E-mail: appelbaum@arcadia.edu.

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Modelagem em Educação Matemática – MEYER et al (Bo)

1 de março de 2012

MEYER, J. F. C. A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS A. P. S. Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011. Resenha de: KISTEMANN JÚNIOR., Marco Aurélio. BOLEMA, Rio Claro, v. 26, n. 42B, p.743-746, abr., 2012.

O final da década de 1970 marca o início da trajetória da Modelagem Matemática na educação matemática brasileira, em oposição, segundo a pesquisadora Lourdes Maria Werle de Almeida, ao Movimento da Matemática Moderna, como uma alternativa de se fazer matemática nas aulas de matemática e em outros espaços, e contrária à ideologia da certeza.

Há diversas entradas para Modelagem Matemática, tanto no âmbito da Matemática Aplicada quanto na Educação Matemática. No contexto da Educação Matemática ela pode ser compreendida como um caminho para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática ou para o fazer Matemática na escola, tendo como norteadores a observação da realidade, discussões e investigações que modificam não só as ações que usualmente têm lugar na sala de aula, mas também as formas como se observa o mundo.

Na Introdução do livro sob análise, os autores apresentam estudos que, ao serem desenvolvidos, modificaram o status quo em duas realidades, o que serve de exemplo da Modelagem Matemática como instrumental de intervenção e avaliação do mundo em seus diversos aspectos. Apresentam, ainda, exemplos nos quais são revelados procedimentos de Modelagem que trilham três passos essenciais, quais sejam: a formulação do problema, a resolução aproximada e a avaliação, pressupondo, segundo os autores, o diálogo, a negociação e o acordo, além de buscar a leitura crítica dos resultados.

Apresenta-se, no início do primeiro capítulo, uma analogia entre as escolas filosóficas (Logicismo, Intuicionismo, Formalismo e Hipoteticismo) de fundamentação à Matemática e o cotidiano da Educação Matemática para que, em seguida, seja promovida interessante discussão acerca da objetividade e do formalismo intrínsecos à Matemática, e as consequências desse formalismo na linguagem e nas práticas do professor de Matemática.

Embora reconheçam que a Matemática ainda é considerada, por boa parte da sociedade, como uma disciplina difícil e que afasta as pessoas por, frequentemente, estar desconectada dos fazeres cotidianos, os autores creem que com a introdução da Modelagem nas práticas escolares é possível passarse da mera observação a termos e problemas matemáticos algoritmizáveis para a manipulação e interação com objetos e problemas sem respostas definidas e únicas, o que constituiria sujeitos, num processo de atribuição de significados, por meios da construção e resolução de problemas relevantes para um dado contexto.

Nesse sentido, a ideia que permeia todo o livro é de que para se adotar a Modelagem há que se reconhecer a existência de problemas reais com hipóteses de simplificação, ainda inexplorados num dado contexto, e que tais problemas – que exigirão atribuição de significado, avaliação e crítica por parte dos alunos – venham a se constituir como significativos para estes sujeitos e suas respectivas comunidades.

Criticando as ações pedagógicas dependentes de livros didáticos, os autores asseveram que a estratégia por eles proposta, que visa modelar para compreender fenômenos, possibilita investigações e a produção de dados matemáticos pelos alunos que, assim, podem ter melhores condições para decidir pelas ações a tomar, o que permite também a criação, no estudante, de um cabedal político que fará diferença em seu entorno social e vai além da investigação e do conteúdo matemático em si.

O segundo capítulo apresenta a concepção dos autores sobre Matemática e Modelagem, defendendo a vinculação entre a Modelagem e uma intenção de educar matematicamente, que problematiza o currículo (um dos principais focos da discussão) e vale-se de ferramentas matemáticas para um dado tipo de problema, num dado momento.

Os autores explicitam sua discordância com o pensamento de algumas correntes que, ao reduzirem a Modelagem a um método para o ensino de conteúdos matemáticos, legitimam um currículo rígido e ajudam a cristalizar uma concepção de Matemática como ciência da verdade e da certeza. Eles, ao contrário, almejam, com a Modelagem, ensinar Matemática de modo que os alunos, como agentes ativos, criem mecanismos de reflexão e ação.

Para entenderem a origem da Modelagem e sua inserção no currículo, e defenderem que Modelagem e Matemática consolidam-se e vinculam-se às questões sociais, os autores detalham, em seções curtas, exemplos de algumas situações-problema, explicitando o que entendem por Matemática (Pura e Aplicada) e por aplicações na (Educação) Matemática, cuidando de apresentar e discutir estratégias pedagógicas, riscos e inseguranças que podem vir à cena quando se opta por uma ação parametrizada pela Modelagem.

No terceiro capítulo os tópicos aprofundam a preocupação com a Modelagem em suas possibilidades para a sala de aula. Destaca-se como significativa a referência aos programas de formação de professores que, em sua maioria, ainda se encontram recheados de cientificismos e fundados em modelos que defendem os conhecimentos matemáticos e pedagógicos como instâncias apartadas. Defendem os autores que a formação de professores de Matemática, na perspectiva da Modelagem, passa pelo questionamento do direito de se universalizar o particular, de igualar diferenças e pretender abarcar a totalidade já que nem sempre o processo de ensino e aprendizagem pautado na Modelagem implicará em sucesso inquestionável.

No item Modelagem e Práticas Docentes os autores refletem sobre experiências que vivenciaram com estudantes, apresentando alguns exemplos que revelam como a modelagem, numa perspectiva crítica, foi (e, portanto, pode ser) desenvolvida nas salas de aula.

O quarto capítulo apresenta ao leitor algumas perspectivas de Modelagem e um panorama dos estudos realizados na área, desde sua origem (na Matemática Aplicada) até sua incorporação pela Educação Matemática. Há, ainda, seções que abordam a Modelagem em relação a distintas áreas. Mesmo para os iniciados ou já mais experientes (considerando inclusive o público-alvo das obras de Educação Matemática publicadas pela Autêntica) este capítulo tem sua relevância na medida em que apresenta concepções de Modelagem de diversos pesquisadores e matizes.

Destacamos, deste capítulo, tanto os trechos em que os autores defendem a aproximação entre Etnomatemática e Modelagem – já que, segundo eles, as Matemáticas devem estar intimamente relacionadas à cultura, de modo a compor caminhos que conduzam os indivíduos a (re)pensar e compreender a relação entre conhecimentos matemáticos, práticas e vivências – e o modo esclarecedor com que são feitas aproximações entre Modelagem e Educação Ambiental, Modelagem e Educação Matemática Crítica, Modelagem e Pedagogia de Projetos, e Modelagem e Tecnologias da Informação e Comunicação.

No capítulo final enfatiza-se que a Modelagem deve propiciar a compreensão do fenômeno estudado, sabendo que, sempre, novos ciclos de Modelagem poderão ser efetuados, o que confere a essas práticas, segundo os autores, um caráter de diversidade, dinamicidade e dialogicidade.

Em síntese, o livro é de leitura obrigatória para todos os educadores matemáticos que pensam ser importante, parafraseando Edgar Morin, deslocarse do determinismo e das verdades imutáveis em busca de uma racionalidade que dê sustentação aos pressupostos do pensamento sistêmico e da complexidade que nos cerca.

Marco Aurélio Kistemann Jr. – Doutor em Educação Matemática, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Rio Claro, SP. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF), Juiz de Fora, MG, Brasil. E-mail:marco.kistemann@ufjf.edu.br.

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Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campo da educação matemática – MUNIZ (Bo)

1 de abril de 2011

MUNIZ, C. A. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campo da educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. KISTEMANN JR, Marco Aurélio. BOLEMA, Rio Claro, v. 24, nº 38, p. 297 a 302, abril 2011.

Para o autor Cristiano A. Muniz existe uma representação social da ligação entre o jogo espontâneo e a aprendizagem matemática que se vê marcada por uma dicotomia, qual seja, a de que a aprendizagem matemática liga-se ao trabalho enquanto que o jogo não é considerado um espaço para a Matemática. Para Muniz, a atividade matemática é, na visão infantil, sobretudo, ligada a contextos didáticos e a aprendizagem matemática à situação controlada por um adulto, por um professor.

Essas concepções inauguram o primeiro capítulo do livro. Em seu estudo sobre as atividades matemáticas da criança em jogos espontâneos, o autor buscou compreender qual Matemática é produzida quando a criança não está realizando tarefas escolares sob o controle de um adulto. O autor classifica seu estudo como uma investigação etnomatemática no contexto do mundo lúdico da criança, e seu objeto de estudo são as práticas de atividades matemáticas pela criança envolvida em jogos espontâneos. Em suma, o autor busca analisar o jogo como um virtual mediador de uma cultura matemática, enfatizando que, assim, o jogo se configura como um mediador de conhecimentos, de representações presentes num contexto sociocultural no qual a criança se insere e atua.

No capítulo II, “Jogo e educação matemática: aproximações teóricas possíveis e desejáveis”, o autor faz um estudo teórico sobre as concepções de jogos matemáticos e a Matemática. Esclarece que o objetivo do estudo não é analisar aproximações entre jogo e Matemática, mas analisar distintas associações possíveis entre a Matemática e os jogos que transcendam os denominados pelo autor de “jogos matemáticos”. Muniz relata que duas relações entre jogo e Matemática têm sido bastante difundidas e fundam-se nas noções de discussão/argumentação matemática, considerando também a produção científica da Matemática como uma espécie de jogo, isto é, um jogo produzido por (e reservado aos) uma comunidade específica. Nesse caso, são jogos em que as normas se confundem com as regras formais da Matemática: jogos de reflexão pura e jogos matemáticos ou “jogos de recreação matemática” reservados aos que dominam os saberes matemáticos.

Ciente de que há uma aproximação teórica entre o jogo e a Matemática, a proposta da investigação de Muniz direciona-se no sentido oposto a esta concepção, buscando revelar e analisar a Matemática presente nos jogos realizados pelas crianças. Busca, nesse sentido, delimitar o estudo no espaço de produção matemática de jovens estudantes, em contextos de jogos espontâneos, identificando e analisando a Matemática presente nas produções cognitivas das crianças quando estão livres de regras impostas por uma autoridade adulta. Por fim, o autor enseja discutir qual a natureza da relação entre o sujeito e a atividade matemática quando a criança se insere em contextos socioculturais não escolares.

O terceiro capítulo tem como finalidade precisar o conceito de “jogo”, buscando relacionar a aprendizagem matemática com determinadas atividades denominadas de “Jogos”. O autor visa responder à questão que guia seu estudo, qual seja, o que é, em sua acepção, um jogo. Para o autor, é a partir de um paralelismo entre o mundo real e o mundo imaginário construído durante e a partir da atividade lúdica, que traduz uma representação do mundo sociocultural em que se insere a criança, que se pode interpretar e analisar a atividade matemática presente nos jogos.

Embasado teoricamente nos referenciais de Caillois (1967) e Brougère (1995), Muniz busca responder suas questões partindo de jogos do contexto infantil nos quais as regras exigem, de cada criança e do grupo como um todo, competências matemáticas.

No capítulo IV, intitulado “As atividades matemáticas nos jogos presentes na cultura infantil”, o autor discorre sobre a possibilidade de conexão entre a Matemática e o jogo que, para Muniz, são coisas diferentes, pois o jogo não se constitui como Matemática pura, uma vez que a Matemática é tão somente um dos vários elementos que constituem a atividade do jogo.

Explicita o autor, num dado trecho deste capítulo, que a potencialidade do jogo em relação à Matemática não deve ser tomada como panacéia para os problemas existentes no ensino desta disciplina, asseverando que ao educador matemático reserva-se a incumbência de ter precauções e dúvidas quanto à possibilidade de certas aprendizagens a partir do jogo.

O autor relata, no capítulo V: “O espaço pedagógico na educação matemática”, que as relações entre jogo e Matemática ligam-se a questões epistemológicas associadas, seja quanto à natureza da atividade considerada jogo, seja quanto à concepção sobre a construção do conhecimento matemático explorado. Muniz acredita que na dualidade entre a fonte interna de produção de elementos altamente abstratos da Matemática e a necessidade de uma motivação, interna e externa ao sujeito para a realização da atividade matemática, pode-se vislumbrar uma relevante perspectiva de associação entre jogo e Matemática.

Fica claro neste capítulo que ver os jogos como um dos muitos instrumentos socioculturais de difusão e validação de saberes matemáticos possibilita que a relação entre jogo e Matemática se estabeleça como teoricamente profícua quando se toma como pressuposto que o jogo, assim como a Matemática, realiza-se fora da realidade da materialidade. Em outras palavras, jogo e Matemática se constituem como atividades da mente humana, encontrando-se num mesmo plano epistemológico.

Na seção “Ferramentas de intervenção no contexto da didática da Matemática:o jogo como mediador possível”, o autor busca analisar uma possível aproximação entre jogo e educação matemática, no campo da didática, ao introduzir a noção de situação didática a partir da “Teoria de Situações”2 proposta por Guy Brousseau (1998), teoria que fornece relevantes contribuições acerca do uso de jogos na didática francesa da Matemática.

Concordamos com o autor no que se refere à possibilidade de estabelecimento de uma relação entre o jogo e Matemática. Pode-se estabelecer uma análise a partir da consideração teórica de que o sujeito é, ele mesmo, o responsável pela construção do conhecimento matemático numa dimensão ontológica do desenvolvimento humano. Segundo Muniz, esta construção deve realizar-se em situações em que a atividade matemática se faz presente.

No penúltimo capítulo do livro o autor relata que o interesse pela identificação e compreensão da atividade matemática que as crianças e os jovens desenvolvem quando jogando em grupos e longe do alcance de um educador, levou-o a realizar por quatro anos um estudo etnográfico do contexto lúdico de um grupo multicultural de crianças e jovens que frequentaram a Ludoteca Municipal d’Issy les Loulineaux, na periferia de Paris, na França. O objetivo desse estudo foi analisar a natureza da atividade matemática presente neste grupo. Identificados 1776 jogos que envolviam diretamente conhecimentos matemáticos, o autor selecionou seis que foram jogados em grupo pelas crianças. Muniz apresenta neste quinto capítulo, de forma resumida, os seis jogos, bem como as expectativas suscitadas pelas crianças quanto às atividades matemáticas, levantadas por meio de análise do que era proposto aos jogadores.

Muniz acredita que é mister considerar as atividades cognitivas desenvolvidas no contexto de um jogo como submissas aos conhecimentos socioculturais que o próprio contexto do jogo suscita, bem como daqueles inerentes ao repertório cognitivo da criança. Desse modo, a forma de manipular valores, realizar operações, elaborar e solucionar problemas é determinada não só pela estrutura lúdica, mas também pelos conhecimentos socioculturais que, incorporados pelas crianças, passam a fazer parte do sistema de regras dos jogos.

No último capítulo o autor analisa, inicialmente, o jogo quanto a natureza da atividade matemática que ocorre subjugada ao sistema de regras constituído pelas crianças, além de analisar a liberdade quanto a mudança da estrutura lúdica que elimina a possibilidade de realização de certas atividades Bolema, Rio Claro (SP), v. 24, nº 38, p. 297 a 302, abril 2011 301 matemáticas. Também é do âmbito da análise de Muniz estudar a validade da produção matemática como dependente de um conteúdo qualitativo das ações cognitivas em um jogo. Por fim, Muniz analisa as ações cognitivas que se manifestam no jogo, em muitas situações localmente validadas, não possibilitando, portanto, sua transferência para outros contextos.

De acordo com Muniz, tanto a identificação das potencialidades e dos limites de uma atividade lúdica para o desenvolvimento de uma atividade matemática quanto a interpretação de variados jogos desenvolvidos por crianças de contextos multiculturais são os objetivos principais de sua investigação. Neste contexto, cabe ao educador estar presente no desenvolvimento da atividade lúdica, promovendo observações, reflexões e validações dos procedimentos matemáticos.

O autor confirma a ideia de que se uma estrutura lúdica não é parte essencial do jogo, sua eliminação pelo jogador altera, seguramente, a natureza da atividade matemática desejada por aquele que inicialmente concebeu o jogo e o ofereceu à criança. A análise das atividades matemáticas desenvolvidas nos jogos revelou traços e características importantes da cultura lúdica presente nos jogos em análise. Para Muniz, existe, nos jogos, uma relação dialética entre cultura lúdica e atividade matemática, de modo que essas duas facetas contribuem para a constituição das ações matemáticas das crianças que jogam em um ambiente sem controle externo.

O livro de Cristiano A. Muniz é uma leitura obrigatória não só para os interessados em estudar as relações entre jogo e aprendizagem matemática, pois presenteia o leitor com um rico referencial teórico, apresentando um estudo amplo e complexo sobre como o jogo pode ser um mediador para o conhecimento matemático na medida em que se percebe o jogo a partir da capacidade do sujeito de raciocinar, de comunicar e de transitar entre as tantas dimensões do conhecimento matemático. Entendemos que no jogo a criança é o sujeito responsável pelo desenvolvimento da atividade lúdica, bem como pelas situações que suscitam e geram atividades matemáticas, apresentando subsídios para o desenvolvimento da investigação matemática rumo a uma práxis pedagógica em que o caráter lúdico presentifica-se na sala de aula de matemática. Não podemos deixar de ressalvar uma das conclusões do autor: é necessário considerar, antes de tudo, que a intervenção do adulto no jogo espontâneo da criança, a fim de favorecer aprendizagens matemáticas, pode comprometer a qualidade da experiência lúdica em favor do ensino da Matemática.

Notas

2 Das muitas contribuições da “Teoria das Situações” de Brousseau (1998) destacamos a constatação de que existem situações de construção do conhecimento matemático fora do contexto didático, as denominadas situações adidáticas. Em situações adidáticas o professor não é o mediador do conhecimento matemático, uma vez que a mediação neste contexto realiza-se por meio dos contextos e dos objetos culturais do mundo do aluno.

Referências

BROUGÉRE, G. Jeu et Education. Paris: Editions L’harmattan, 1995.

BROUSSEAU, G. Theories dês Situations Didactiques. Grenoble: La Pensée sauvage, 1998.

CAILLOIS, R. Les jeux et les hommes. Paris: Editions Gallimard, 1967.

Marco Aurélio Kistemann Jr. – Mestre em Educação pela Universidade Federal do Rio de Janeiro/UFRJ. Doutorando em Educação Matemática Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – UNESP – Rio Claro – SP – Brasil. Endereço para correspondência: Rua 12 A, n. 335, apto – 09, Vila Alemã, CEP: 13506-668, Rio Claro – SP. E-mail: mathk@ig.com.br.

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Quatro visões iluministas sobre a educação matemática: Diderot, D’Alembert, Condillac e Condorcet – GOMES (Bo)

1 de agosto de 2010

GOMES, M. L. M. Quatro visões iluministas sobre a educação matemática: Diderot, D’Alembert, Condillac e Condorcet. Campinas: Editora da Unicamp, 2008. Resenha de: ANDRADE, Mirian Maria. BOLEMA, Rio Claro, v.23, n. 36, p.809-817, ago., 2010.

O livro de Gomes originou-se de seu doutorado2 realizado na Universidade de Campinas, UNICAMP – SP, sob orientação de Antonio Miguel. A estrutura adotada na obra configura-se, grosso modo, em uma introdução seguida de seis capítulos aos quais seguem conclusões e referências bibliográficas.

Na introdução Gomes faz algumas considerações iniciais em relação ao trabalho como um todo, explicitando o que abordará em cada um dos capítulos seguintes. Neste momento esboça elementos para uma ideia sobre as contribuições, à educação matemática, dadas por quatro importantes pensadores das Luzes, a saber: Diderot, D’Alembert, Condillac e Condorcet.

Vinculadas a essas contribuições apontadas pela autora, é que se originaram os títulos dos capítulos, ou seja, cada um desses títulos, de certo modo, sublinha um aspecto considerado importante (talvez o aspecto mais marcante, segundo a leitura de Gomes) da obra de cada um desses “filósofos”3 em relação à Educação e à Educação Matemática4.

O capítulo 1, intitulado “Considerações sobre a educação matemática na França do século das Luzes”, é dedicado à apresentação de um quadro geral da educação na França do século XVIII, buscando fixar o solo em que radicam as contribuições dos quatro iluministas. A referência inicial é a carta 128 do conjunto das Cartas Persas de Montesquieu, cujo conteúdo expressa dois pontos fundamentais relacionados à educação matemática na França àquela época: O primeiro deles transparece no destaque conferido ao matemático, frequentemente denominado geômetra à época, bem como à sua maneira de ver o mundo – é o grande estágio de desenvolvimento atingido pelas ciências e pela matemática, já no início do Setecentos. […] o segundo ponto […] na ordem pedagógica setecentista, o estudo das letras prevalece sobre o das ciências, e a matemática tem pouco espaço. (GOMES, 2008, p. 26-27) A autora refere-se ao expressivo número de publicações na segunda metade dos setecentos, na França, carregadas de reflexão pedagógica que produziram uma diversidade de ideias. Dentre elas, Gomes destaca duas que se configuram como fundamentais à compreensão das concepções (em relação à educação matemática) dos quatro filósofos em questão: “[…] a necessidade de estatizar a educação escolar, é particularmente marcante, como veremos em Diderot e Condorcet” (GOMES, 2008, p. 30) e “[…] a necessidade premente de reformar o conteúdo da educação escolar, com a abertura de um espaço importante para a matemática, está explícita nos escritos dos quatro autores abordados neste trabalho” (GOMES, 2008, p. 30). Ainda, nesse momento, nos são apresentados aspectos gerais da instrução primária e secundária antes da Revolução Francesa. Na França do século XVIII, a educação primária era a escola do povo, enquanto a educação secundária atendia apenas a uma minoria composta pela nobreza e pela elite burguesa.

Dentre os quatro iluministas, Diderot e Condorcet se sobressaem por defenderem uma educação para todos, uma formação na qual a educação matemática possuiria especial importância.

Encerrando este capítulo inicial, a autora discute em linhas gerais o ensino jesuíta e a educação matemática na França. De acordo com Gomes, a Companhia de Jesus investia efetivamente no ensino secundário, dado que o ensino primário não lhe era conveniente – citando Compayre, “tudo se subordina a fé, e a fé do povo não tem melhor salvaguarda do que a ignorância” – e o ensino superior, dito “a alta ciência”, vive de liberdade, o que os jesuítas não poderiam admitir. Maria Laura Magalhães Gomes apresenta, então, um esboço de como eram gerenciadas as questões relativas ao estudo nos colégios da Companhia de Jesus, apontando que, dos quatro iluministas aos quais o foco do livro se volta, apenas D’Alembert não estudou em instituição jesuíta.

Com isso, ficam ressaltadas, de certo modo, algumas das influências educacionais originárias – tanto desses pensadores quanto de uma significativa parcela da sociedade da época – que seriam, no correr da história, questionadas e reformuladas pelos iluministas.

O capítulo segundo, “Diderot e o sentido político da educação matemática”, é dedicado ao estudo da obra de Denis Diderot (1713 – 1784).

Para esse pensador – como já ressaltado no próprio título do capítulo – a educação é um fato primordial para a vida individual e social do indivíduo, direito de todos, de acordo com os méritos e as capacidades de cada indivíduo: para Diderot, portanto, a educação (e veremos que também a educação matemática) é elemento de uma agenda política.

Diderot é considerado o principal editor da Enciclopédia (obra emblemática do iluminismo francês) ainda que usualmente, nas citações, ele apareça como companheiro de D’Alembert. Em 1775 Diderot responde à solicitação da imperatriz da Rússia, Catarina II, enviando-lhe o projeto para a constituição de uma universidade no qual é visível o lugar privilegiado dado à educação matemática.

Um exame da Explicação detalhada do sistema de conhecimentos humanos – texto da Enciclopédia cuidadosamente analisado por Gomes – mostra a proposta de Diderot e D’Alembert quanto à localização da matemática na divisão geral dos conhecimentos humanos, sendo portanto esse exame um ingrediente fundamental para compreendermos a posição de Diderot em relação à matemática. Para ele “o objeto da matemática é a quantidade, um abstrato que os sentidos exteriores percebem; a partir dessa percepção, o Entendimento produz o conhecimento pela reflexão” (GOMES, 2008, p. 53).

Na organização dos estudos proposta por Diderot no Plano de uma Universidade, o enciclopedista exercita suas crenças sobre a educação matemática, que defendiam o conhecimento matemático como instrumental e formativo. A importância do aspecto formativo é notada no texto das Primeiras noções sobre as matemáticas para uso das crianças, obra inacabada que atenderia à execução do Plano. Essa potencialidade da matemática é evidenciada quando Diderot refere-se à geometria que, segundo ele, é a mais simples das lógicas. Para Diderot, o estudo das matemáticas, junto à alfabetização, deveria necessariamente ser acessível a todos, do primeiro ministro ao camponês: todos deveriam saber ler, escrever e contar.

Em relação ao aspecto prático/instrumental, percebe-se que a prioridade da educação matemática é justificada no projeto de Diderot pelo bom funcionamento da sociedade. A autora interpreta o papel desses dois aspectos matemáticos (formativo e instrumental) como constituintes essenciais de seu projeto pedagógico. Apoiada em Dolle, Gomes afirma que, para Diderot, a essência da organização política é a educação.

Duas passagens, segundo a autora, ilustram de modo claro as principais ideias de Diderot em relação à aprendizagem matemática, a saber: “Como quer que seja, segue-se que as matemáticas puras entram em nossa alma por todos os sentidos, e, portanto, que as noções abstratas nos deveriam ser bem familiares” (GOMES, 2008, p.79), um excerto das Adições à Carta sobre os surdos e mudos, e “Saber geometria ou ser geômetra são duas coisas muito diversas. É dado a poucos homens serem geômetras; é dado a todos aprender a aritmética e a geometria”. (GOMES, 2008, p. 79), excerto do Plano de uma Universidade. Finalizando o segundo capítulo, a autora discute as indicações metodológicas de Diderot em relação ao ensino de matemática.

O terceiro capítulo, cujo título é “D’Alembert e a epistemologia da matemática como base da educação matemática”, é dedicado ao estudo do iluminista Jean Le Ronde D’Alembert (1717 – 1783). Para Gomes, fontes ricas para conhecermos o pensamento desse iluminista em relação à educação matemática são os verbetes da Enciclopédia e o Ensaio sobre os elementos da Filosofia. Estudando esses textos, a autora afirma que é possível constatar dois componentes fundamentais das reflexões desse filósofo: D’Alembert situa Bolema, Rio Claro (SP), v. 23, nº 36, p. 809 a 817, agosto 2010 813 a fonte de todo conhecimento na experiência (concordando com Locke) e acredita que existe uma ligação entre todos os objetos de nosso conhecimento, e pensa a geometria como sinônimo da matemática, ainda que não deixe de, em seus escritos, atribuir importância à álgebra.

Duas questões são tomadas como centrais para a compreensão das idéias de D’Alembert: sua posição de, tendo como base o pensamento de Locke, defender a matemática como um conhecimento tributário da experiência; e sua concepção sobre o conhecimento matemático ser e funcionar como uma cadeia de verdades (no que D’Alembert reflete harmonia com concepções cartesianas).

Nas linhas desse capítulo, Gomes nos deixa perceber que a matemática participava – de modo essencial e com destaque – do quadro de conhecimentos de D’Alembert: para ele, deveria ser facultado a todas as pessoas o acesso ao conhecimento elementar da matemática. Sobre as indicações para a educação matemática, a autora nos mostra que, em D’Alembert, o principal instrumento para a instrução científica (particularmente a educação matemática) é o livro-texto.

O ponto básico da proposta de educação matemática de D’Alembert reside na elaboração de livros didáticos que exponham esses conteúdos de acordo com as diretrizes que ele propõe. Essa tarefa não é simples: D’Alembert revela-se muito insatisfeito em relação aos textos de matemática de sua época e critica fortemente seus autores por não considerá-los à altura do empreendimento que realizam. […] para D’Alembert, não é o professor quem entregará ao educando o conhecimento pronto: os textos devem fornecer muito material a ser pensado, pois só existe aprendizagem pelo esforço da própria mente. (GOMES, 2008, p. 153).

No quarto capítulo do livro, “Condillac e o prisma cognitivo da educação matemática”, por sua vez, seguem as discussões em torno do filósofo Étienne Bonnot Condillac (1714 – 1780). Segundo Gomes, o objeto essencial dos trabalhos de Condillac é o conhecimento humano, o método por excelência é o analítico, e os fundamentos centrais de sua obra provêm dos trabalhos de Newton e de Locke. Duas parecem ser as principais diferenças entre Locke e Condillac: a primeira delas é que, no filósofo francês, há uma radicalização do sensacionismo; a segunda refere-se ao papel desempenhado pelos signos nas operações mentais (para Locke a linguagem é instrumento, enquanto que para Condillac o papel dos signos está na própria formação do pensamento refletido).

Para tecer relações entre a obra de Condillac e a Educação Matemática, Gomes abre três frentes: na primeira, aborda as concepções desse iluminista em relação à aritmética, expondo a importância dada por ele aos signos e seus usos; na segunda, traz à tona a visão de Condillac em relação à álgebra – quando Gomes afirma que tudo o que Condillac valoriza na matemática é exatamente o que Diderot frequentemente rejeita –; e, por fim, na terceira das frentes, Gomes apresenta as concepções do filósofo francês em relação aos conhecimentos geométricos.

A apresentação e discussão de algumas considerações epistemológicas e pedagógicas de Condillac, relativas à educação matemática, encerra o capítulo: como D’Alembert e Diderot, Condillac também valoriza a matemática como um conhecimento essencial à formação humana.

O último dos quatro iluministas a ser estudado por Gomes é Jean- Antoine-Nicolas Caritat, o Marquês de Condorcet (1743 – 1794), a quem a autora dedica o quinto capítulo de seu livro. Em “Condorcet e a educação matemática na instrução pública”, sabemos que foi ele, dentre os quatro filósofos abordados, o único que viveu para conhecer a Revolução Francesa. Gomes refere-se a Condorcet como uma figura ilustre na matemática, na filosofia e na educação, além de brilhante político e intelectual do século das Luzes. Por alguns é chamado de “o último dos iluministas”, por outros, como um dos principais – se não o principal – divulgadores da Enciclopédia ao século XIX. Baseada em trabalhos de historiadores da Matemática, Gomes destaca o pioneirismo de Condorcet em um campo denominado por ele mesmo como “matemática social”. Na história da Filosofia, esse pensador é destacado pelo Esboço de um quadro histórico dos progressos do espírito humano que, segundo a autora, é seu testamento filosófico, uma síntese histórica dos progressos da humanidade. Em Condorcet, é possível notar a influência de Voltaire principalmente no que tange ao combate à Igreja e à luta em favor da tolerância.

Na sequência do capítulo – que, como os demais, é riquíssimo em informações e precioso nas interpretações – Gomes tece considerações quanto à visão de Condorcet sobre a educação matemática. Para tanto, ela focaliza as concepções e propostas desse pensador elaboradas, antes da Revolução Francesa, em seu plano de instrução pública, e o seu manual de aritmética (Meios de aprender a contar com segurança e facilidade) composto visando o mesmo Plano e, portanto, faz parte das diretrizes de um projeto para a França Revolucionária. Para esse filósofo, o conhecimento matemático está entre os que mais podem contribuir para a formação humana, e o que é mais necessário ao cidadão. Condorcet, assim como Diderot, crê que toda criança precisa saber contar e medir. Para ele, as ciências abstratas adequadas para uma criança são a aritmética, a geometria e a álgebra e sua proposta é favorável a fazer recomendações aos professores sobre a aprendizagem, ao invés de meramente oferecer livros às crianças.

Gomes apresenta e discute também o “informe” de Arbogast – um antecedente do manual de aritmética de Condorcet –, as doze lições de aritmética, os conteúdos do manual, bem como as dimensões didáticas, metodológicas e psicológicas desses materiais. Para finalizar tal capítulo, a autora expõe uma síntese da educação matemática na concepção desse iluminista iniciada com um paralelo em relação às concepções dos demais pensadores por ela tratados.

Diderot, defensor incansável da instrução pública, laica, gratuita e para todos os filhos de uma nação, afirmou a necessidade de começar o ensino pela matemática no Plano de uma universidade. D’Alembert, no Discurso preliminar da Enciclopédia, iniciou pela matemática a abordagem dos conhecimentos humanos, e insistiu na necessidade de que os livros elementares fossem escritos pelos cientistas mais eminentes. Condillac sublinhou em seus trabalhos o valor cognitivo da matemática, propôs reformas terminológicas sobre os nomes dos números de modo a evidenciar a analogia, fez o elogio da linguagem matemática, praticamente confundiu a álgebra com o método filosófico da análise.

Condorcet, o último representante da filosofia iluminista francesa, pertenceu a um tempo que lhe possibilitou, como matemático e político, empreender ações concretas no sentido da realização dos ideais científicos e pedagógicos de seus antecessores (GOMES, 2008, p. 297).

Gomes aponta outras similaridades entre as ações e intenções desses iluministas e encerra este capítulo afirmando que “Condorcet teve a oportunidade de ir além do trabalho de doutrinação no sentido de atribuir à educação matemática um lugar privilegiado no combate em favor da autonomia, da igualdade e do aperfeiçoamento do homem” (GOMES, 2008, p. 300- 301). A autora interpreta a obra de Condorcet – morto em 1794, quando fugia da perseguição sanguinária do regime do terror, num momento em que seu Plano para a instrução pública, posteriormente substituído por outras propostas, nem mesmo havia sido votado em assembleia – como uma das derradeiras expressões da filosofia iluminista da França do século XVIII.

O capítulo sexto do livro de Gomes é dedicado a considerar a educação matemática na França pós-iluminista. Resultado das contribuições desses quatro filósofos das Luzes, a Matemática torna-se, ainda que por pouco tempo, uma das principais disciplinas escolares. A partir da apresentação e da discussão dos Ensaios sobre a história do ensino de matemática, particularmente na França e na Prússia, um trabalho do pesquisador alemão Gert Schubring, a autora faz apontamentos sucintos em relação à situação da educação matemática em diversos períodos da história da França, como o da Convenção Nacional (1792 – 1795), o do Diretório (1795 – 1799), do Consulado (1799 – 1804), do Império napoleônico (1804 – 1814) e o da Restauração (1814 – 1848).

Ao concluir seu livro, Gomes afirma que, em síntese, os quatro iluministas por ela tematizados, apesar de divergirem em vários aspectos, sempre tiveram como ponto comum e princípio a luta pela prioridade da educação matemática na instrução. Salienta um aspecto fundamental que, dentre eles, diferencia Diderot: a defesa do método analítico, que fundamenta a defesa da mesma abordagem em D’Alembert, Condillac e Condorcet. Ressalta a crença de Diderot, Condillac e Condorcet na possibilidade de que toda criança pode – e deveria – ter acesso aos conhecimentos matemáticos e recorda a defesa de D’Alembert, Diderot e Condorcet quanto à responsabilidade dos professores que trabalham com a educação matemática e a importância dos livros elementares, cujos autores deveriam ser intelectuais eminentes.

Gomes afirma que não parece adequado concluir seu trabalho sem se referir, mesmo que rapidamente, ao pensamento de Rousseau, manifestado principalmente no Emílio ou Da educação, obra relevante e de grande repercussão no pensamento pedagógico após o século XVIII. Os quatro iluministas e Rousseau – nos assegura a autora – partilham das concepções sobre aprendizagem por meio da experiência dos sentidos mas, no entanto, a visão de Rousseau diverge demasiadamente da dos demais quanto às concepções metodológicas e psicológicas sobre a educação matemática que amparam suas propostas.

Gomes, por fim, considera a complexidade de seu tema de estudo e afirma que não teve a intenção de esgotá-lo: espera ter apresentado, em seu livro, uma contribuição à história da educação matemática e, especialmente, à história da educação matemática brasileira.

Nas páginas anteriores tentei sintetizar – a partir de minha leitura específica – o trabalho de Gomes. Uma angústia constante acompanha, entretanto, meu esforço de resenhista: a impressão de sempre estar deixando algo para trás, de sistematicamente estar negligenciando aspectos importantes, de não comunicar minimamente a riqueza que a autora expressa em seu livro.

Os capítulos são maciços de informações e interpretações extremamente relevantes e bem tecidas, o que torna complexa a intenção de resumir e transmitir ao leitor uma idéia de tudo o que Gomes aborda. Aos interessados na história da educação matemática e suas cercanias, recomendo fortemente a leitura da íntegra do trabalho. Trata-se de um texto de leitura agradável e de um notável exercício de análise e interpretação.

Notas

2 Disponível em: <http://libdigi.unicamp.br/document/?code=vtls000297451>.

3 “O termo philosophes” – afirma Gomes – “com que se auto-intitularam os intelectuais da Ilustração na França, caracteriza não um filósofo no sentido tradicional – um metafísico – , mas antes um pensador engajado, progressista, que luta contra o fanatismo e a intolerância, que defende a razão e as luzes, que mobiliza seu espírito crítico especialmente contra a Igreja católica e a monarquia absoluta” (GOMES, 2008, p. 105) .

4 “Embora na atualidade a expressão ´educação matemática´seja usada com diversos significados, entre os quais se sobressai o de um campo de investigação científica, utilizo-a no contexto histórico a que este trabalho se refere, a França do século XVIII, para designar o ensino de matemática em uma perspectiva mais ampla, isto é, como algo indissociável de seus múltiplos aspectos: epistemológicos, políticos, éticos, pedagógicos, históricos, filosóficos, metodológicos, psicológicos, sociais, culturais, teleológicos, axiológicos etc.” (GOMES, 2008, p. 21)

Mirian Maria Andrade – Doutoranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Estadual Paulista – UNESP/Rio Claro. E-mail: andrade.mirian@gmail.com

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Interdisciplinaridade e aprendizagem da Matemática em sala de aula – TOMAZ; DAVID (Bo)

1 de agosto de 2010

TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Soares. Interdisciplinaridade e aprendizagem da Matemática em sala de aula. (Coleção Tendências em Educação Matemática) – Belo Horizonte: Autêntica, 2008. Resenha de: SOUTO, Daise Lago Pereira. BOLEMA, Rio Claro, v. 23, n. 36, p.801-808, ago., 2010.

O livro é um convite à reflexão sobre interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Para isso, Tomaz e David apresentam alguns exemplos de situações em sala de aula nos quais são relatadas algumas práticas que possibilitam aprendizagens matemáticas, respaldadas em perspectivas histórico-culturais. Também expõem como algumas perspectivas teóricas podem auxiliar no desenvolvimento de uma percepção mais apurada sobre o que se aprende de Matemática e como se aprende.

No primeiro capítulo, intitulado “Os temas transversais e o fazer pedagógico” as autoras elucidam a concepção de interdisciplinaridade que adotarão. No entanto, já nas primeiras linhas, é possível verificar que se trata de uma ampliação da noção de interdisciplinaridade.

A pretensão é romper com o isolamento e a fragmentação dos conteúdos, alicerçando-se em dois princípios básicos para o ensino da Matemática: o da contextualização e o da interdisciplinaridade. Com relação à contextualização, o ensino da matemática deve ser articulado com várias práticas e necessidades sociais, por meio de inter-relações com outras áreas do conhecimento. Já o segundo princípio pode ser proposto de diferentes formas, segundo diferentes concepções, que vão desde aquelas que defendem um ensino aberto para inter-relações entre a Matemática e as diversas áreas do saber científico ou tecnológico, bem como, com as outras disciplinas escolares.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais apontam para uma abordagem dos conteúdos adotando uma organização que vai do global para o específico, com progressiva “disciplinaridade”, tendo em vista que o trabalho escolar está pautado na organização por níveis de ensino e em disciplinas que são, de certa forma, vistas como independentes, gerando assim uma situação de conflito aos professores que pretendem adotar uma prática interdisciplinar.

Uma proposta, apresentada por AlrØ & Skovsmose e compatível com a proposta dos PCNs, defende a potencialidade do trabalho por temas, respeitadas algumas condições: o tema deve ser algo conhecido dos alunos; ser de discussão possível; ter valor em si mesmo; ser capaz de criar conceitos matemáticos; desenvolver habilidades matemáticas; e privilegiar a concretude social.

Nessa perspectiva, a tematização pressupõe uma investigação, o que não significa necessariamente lidar com problemas sofisticados, mas procurar conhecer o que não se sabe, pesquisar, inquirir. Logo, o aluno é levado a explorar, formular questões, fazer conjecturas, testar e reformular questões.

Em relação à atitude investigativa, há três fases: introdução à situação problema; realização da investigação e discussão dos resultados. Nesse sentido, o trabalho de investigação em sala de aula pode ser expandido em direção ao trabalho de modelagem matemática: segundo Borba & Penteado, citados pelas autoras, “na modelagem matemática os alunos escolhem um tema e, a partir desse tema, com o auxílio do professor, fazem investigações”. No entanto, esse trabalho não pressupõe o estabelecimento de procedimentos matemáticos rígidos para resolução ou análise do problema.

A interdisciplinaridade configura-se pela participação dos alunos e professores nas práticas escolares no momento em que elas são desenvolvidas, quando se criam novos conhecimentos que se agregam a cada uma das disciplinas, partindo das interações dos sujeitos no ambiente e de elementos de uma prática comunicativa que eles desenvolvem, mas não necessariamente Bolema, Rio Claro (SP), v. 23, nº 36, p. 801 a 808, agosto 2010 803 conhecimentos inerentes às disciplinas.

Como o próprio título – “Prática e aprendizagem: diferentes perspectivas” – do segundo capítulo sugere, nele são abordadas questões referentes à aprendizagem, apresentando diferentes perspectivas com destaque nas que adotam a visão de aprendizagem situada, a qual é objeto de fundamentação teórica da obra.

Na perspectiva de aprendizagem situada, ensino e aprendizagem são coisas distintas e podem estar ou não inter-relacionadas a uma situação escolar. Lave, referenciada pelas autoras, defende que a aprendizagem é mudança de participação em práticas sociais e, por isso, pode ocorrer sem que uma atividade intencional de ensino a preceda.

Uma questão polêmica dentro da aprendizagem situada, segundo as autoras, diz respeito à noção de transferência de aprendizagem, quando definida como movimento de um conhecimento abstrato e descontextualizado que pode ser aplicado em um amplo conjunto de situações, por não se encaixar bem na perspectiva desta aprendizagem.

No entanto, nas práticas escolares, partindo do pressuposto de que toda a aprendizagem é situada, nenhuma aprendizagem pode ser separada do seu contexto de origem, uma vez que ela é a própria participação em práticas sociais. Transferir a aprendizagem, ao contrário do que se possa pensar num primeiro momento, no entendimento das autoras, não significa transportar um conhecimento, abstrato e descontextualizado, mas algo que pode ser viabilizado a partir do estabelecimento de relações – entre os conhecimentos adquiridos e aqueles necessários em novos contextos – para a ressignificação da noção de transferência de aprendizagem.

A discussão, aqui, gira em torno do modo como a interdisciplinaridade em sala de aula se efetiva na perspectiva da tematização. A atividade, portanto, configura-se pelas ações dos professores e alunos direcionadas para a mobilização de conteúdos matemáticos para a discussão do tema “água” (um dos exemplos), bem como pelas possibilidades de fazer inter-relações entre as aprendizagens de várias disciplinas, percebidas no ambiente em que essas ações são realizadas.

Para discutir as aprendizagens tendo a totalidade como pano-de-fundo, e não apenas os alunos e professores, adotou-se uma noção da abordagem ecológica da percepção. Tal noção considera um aspecto da interação das pessoas ou dos animais com o ambiente, sendo a percepção entendida como um sistema que capta a informações para coordenar as ações das pessoas nos ambientes.

A Psicologia Ecológica considera que a aprendizagem é resultado de percepções recíprocas de possibilidades do ambiente e ações no ambiente. Nessa perspectiva, a aprendizagem é vista como prática intencional, consciente, ativa, construtiva e socialmente mediada em atividades que se realizam integrando a tríade intenção-ação-percepção.

Para analisar os processos cognitivos teve-se como referencial a linguagem como adotada por Greeno. São fundamentais, nesse aspecto, os termos “possibilidades” e “habilidades”, os quais fazem uma ligação entre os aspectos de cognição e do comportamento humano, do seguinte modo: as habilidades necessárias para uma pessoa participar de uma atividade dependem de sintonias para restrições e possibilidades a serem percebidas pela pessoa como condições do ambiente. O termo “possibilidades” refere-se a tudo aquilo que, no ambiente, contribui para o tipo de interação: são as pré-condições para a atividade que, por sua vez, estão diretamente relacionadas às restrições. Dessa forma, os termos possibilidades e habilidades são conceitos internamente inter-relacionados.

Por outro lado, se uma pessoa não consegue realizar transferência de aprendizagem, ou seja, tem dificuldade de aplicar o conhecimento em outras situações, então ela não adquiriu esse conhecimento de forma eficaz. Em suma, esta é a relação entre transferência e aprendizagem. O processo de transferência é influenciado não só pelas habilidades cognitivas da pessoa, mas também pelos aspectos culturais, pela interação das pessoas tomadas historicamente no ambiente.

As autoras concluem que numa atividade interdisciplinar o aluno realiza transferência de aprendizagem de uma situação para outra, já que essa transferência é a própria propulsora da aprendizagem situada, pois não se espera que algum conhecimento se preserve intacto de uma situação para outra nem que se crie sempre um conhecimento totalmente novo em cada situação. Complementam, ainda, afirmando que, toda vez que ocorre uma ampliação de sintonias para restrições e possibilidades percebidas no ambiente, ou uma ampliação de significados, pode-se dizer que foi construído um conhecimento novo, mesmo que ele não seja totalmente novo.

Nos capítulo terceiro e quarto (“O tema água gera uma atividade escolar interdisciplinar” e “Aulas de artes gerando oportunidades de interdisciplinaridade”) são narradas situações de sala de aula em que ocorrem diferentes abordagens interdisciplinares dos conteúdos escolares.

Duas das situações desenvolvidas estão pautadas num tema amplo: água. Na primeira, o tema foi desenvolvido pelas professoras das disciplinas de Português, Geografia e Matemática. A expectativa era de que, dessa forma, iria ocorrer uma ampliação de significados por parte dos alunos, levando-os a uma descontextualização dos conceitos matemáticos desses contextos específicos, porém, verificou-se que a ampliação dos significados ocorreu, mas a descontextualização desses significados não, e a participação dos alunos nas práticas em torno do tema focado foi marcada por contradições e rupturas que ficaram visíveis na transformação dos objetivos dos alunos e das professoras para este estudo ao longo do decorrer da atividade.

Além da tensão resultante de objetivos divergentes, a abordagem do tema em tempos diferentes, deixou mais complexo o conjunto de práticas escolares, e as autoras tiveram que recorrer à teoria da Atividade, a qual permite uma abordagem geral e interdisciplinar que oferece ferramentas conceituais e princípios metodológicos que se concretizam de acordo com a natureza específica da atividade desenvolvida em sala de aula. Além disso, esse enfoque possibilita a identificação de elementos dentro de um sistema, pois a cada elemento dessa atividade podemos associar outros conceitos importantes.

As características da interdisciplinaridade na atividade com tema “água”, segundo as autoras, são evidenciadas pela integração de idéias, ferramentas, linguagens, regras e conceitos das diferentes disciplinas envolvidas.

As práticas escolares, avaliam, incorporaram as especificidades da escola, dos seus sujeitos, do currículo, os traços culturais presentes no grupo e as práticas sociais mais recorrentes dentro e fora da sala de aula, apresentando as mesmas características das que eram desenvolvidas nas disciplinas, ainda que adquirissem significados diferentes.

Na disciplina Matemática, os episódios analisados evidenciam que os alunos participam de uma atividade (estudar sua conta de água) enquanto a professora está em outra atividade (ensinando regra de três). Como os motivos são diferentes, cria-se um sistema em que a transformação de motivos é também a transformação do objeto. Após encontrarem resultados e fazerem comparações, os alunos não conseguiam relacionar o procedimento adotado com a regra de três estudada anteriormente em sala. Esta dificuldade de associação gera barreiras para a transferência do que já sabiam de regra de três para aplicar na nova atividade. No entanto, as pesquisadoras constatam que os alunos ampliaram os significados associados à regra de três e citam, como exemplo, um aluno que desenvolve seu próprio método para realizar os cálculos.

Uma outra constatação das pesquisadoras é a de que os alunos utilizaram todas as informações adquiridas na matemática, por exemplo, nas atividades das outras disciplinas, atribuindo significados diferentes, adaptando a linguagem à nova situação em que estavam sendo usadas, reforçando o caráter situado das noções matemáticas.

A segunda atividade consistiu na resolução de problemas: foram definidas normas, regras, relações e ferramentas, ou seja, ficaram mais explicitas as possibilidades e as restrições que se apresentaram nesse ambiente. Os alunos utilizaram as informações das atividades das outras disciplinas, atribuindo-lhes significados diversos, também reforçando o caráter situado das noções matemáticas, relacionando saber escolar e não escolar.

Já a abordagem interdisciplinar desenvolvida nas aulas de Artes não apresenta ligação direta com um tema específico. As autoras relatam que as aulas ofereciam oportunidades ricas para exploração matemática, tais como das noções de ângulo, projeção, perspectiva e simetria. Estas noções, ao serem abordadas no campo das artes, adquiriram outros significados relacionados ao contexto, gerando uma aprendizagem situada da Matemática.

Uma turma optou por fazer uma peça teatral para conscientização sobre o problema da escassez da água. Para isso, utilizou técnicas de desenho artístico e geométrico, organizando dados numéricos em diagramas, gráficos e tabelas, além de se valerem do gênero narrativo para a elaboração do texto da peça.

As noções de perspectiva e leitura de planos numa obra de arte foram utilizadas por duas alunas em um desenho produzido para um trabalho de geografia. O grupo dessas alunas deveria apresentar propostas para a criação de estações de tratamento de água. Destaca-se, aqui, as potencialidades da explicação que usa como ferramentas as noções de perspectiva e planos, ressaltado o papel, para a construção dessas noções, das análises de pinturas de Van Gogh, o que torna explícita a transferência de aprendizagem. O empenho das alunas quanto à integração de conhecimentos de diferentes áreas configura-se como uma forma de interdisciplinaridade, que passa despercebida pelas professoras das disciplinas envolvidas. Resta uma dúvida: embora, para os alunos, as aprendizagens sejam resultantes de interações entre as disciplinas, não fica claro em que medida os professores envolvidos nas atividades tomam conhecimento delas (no próprio momento que as atividades eram desenvolvidas ou só após a discussão entre os professores e pesquisadores sobre a situação).

No último capítulo, “Implicações para a prática docente”, são apresentadas, como sugere o título, algumas implicações para as práticas de um professor que pretenda promover a interdisciplinaridade.

Fazendo uma reflexão sobre a forma como a atividade interdisciplinar com a temática “água” foi desenvolvida, evidenciou-se que a participação dos alunos não se resumia à simples recepção e reprodução de métodos ou informações transmitidas pelos professores. Tal atividade possibilitou um relacionamento positivo com a matemática, tendo em vista que proporcionou a ampliação da participação dos alunos nas atividades, integrando-os às suas realidades pessoais.

O poder de ação do aluno quando participa de uma atividade interdisciplinar ganha força, uma vez que a matemática é utilizada para propor soluções alternativas, criar argumentos, desenvolver métodos, enfim, ampliar significados. A ampliação deste poder de ação resulta no desenvolvimento da capacidade dos alunos de transferir métodos, formas de participação, linguagens e aprendizagem de uma disciplina para outra. Esta mudança quanto ao poder de ação caracteriza a trabalho como uma atividade interdisciplinar, ou seja, os alunos são capazes de criar ou questionar métodos de solução de problemas, adotando ou adaptando aos métodos escolares usuais seus próprios métodos.

O texto não deixa dúvidas de que a forma de organização dos conteúdos conduziu a práticas que geraram um ambiente favorável à participação mais ativa dos alunos. Destacam-se, neste cenário, duas iniciativas que podem gerar condições para que ocorra a aprendizagem por meio de transferência e para que seja possível concretizar atividades interdisciplinares. São elas: organizar propostas de ensino de matemática articuladas com outras disciplinas, optando pela tematização, e utilizar situações problemas que possibilitem a tradução matemática escolar de situações do cotidiano. Porém, ao destacar o sucesso do trabalho não se pode deixar de considerar o objeto de estudo, que pode ser um limitador para o desenvolvimento da proposta.

Por fim, Tomaz e David trazem uma constatação pertinente e fundamental para um trabalho interdisciplinar – a necessidade e vitalidade da interlocução entre os professores das diversas disciplinas – que pode ser um caminho para o desenvolvimento de ações mais sistemáticas.

Daise Lago Pereira Souto – Doutoranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Estadual Paulista – UNESP/Rio Claro. Mestre em Ensino de Ciências no Domínio da Modelagem Matemática, UNIJUÍ (Universidade Regional do Noroeste do Rio Grande do Sul). Professora da UNEMAT (Universidade do Estado de Mato Grosso), Faculdade de Ciências Exatas, Departamento de Matemática. E-mail: daiselago@gmail.com

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Juegos matemáticos ocultos en la literatura – ODIFREDDI (Bo)

1 de janeiro de 2010

ODIFREDDI, Piergiorgio. Juegos matemáticos ocultos en la literatura. Barcelona: Octaedro, 2007. Resenha de: MONTOITO, Rafael Montoito. BOLEMA, Rio Claro, v.23, n.37, 2010.

Nos últimos anos, temo-nos interessado pela relação entre matemática e literatura, não só por tornar possível o vínculo entre imaginação e raciocínio matemático, mas também porque, por meio da literatura, nos é possível fazer contato com uma ‘outra’ matemática: uma matemática que se mistura às narrativas, às vezes dando-lhes suporte e criando enigmas, uma matemática que ajuda a desfazer a idéia predominante de que é impossível comungá-la com outras manifestações humanas que não sejam as ciências exatas ou aproveitá-la apenas em seus aspectos formal e funcional na arquitetura e na pintura, por exemplo; uma matemática que pode servir como inspiração para os escritores, que seja fonte de agradável passatempo, que promova a curiosidade ou motive a especulação do leitor comum. Lewis Carroll, autor sobre o qual fizemos nosso estudo de mestrado, foi o primeiro a chamar nossa atenção para a possibilidade desse vínculo, mas não tardou para que descobríssemos que há mais autores com intenções próximas ou paralelas às de Carroll.

O livro Juegos matemáticos ocultos en la literatura, de autoria de Piergiorgio Odifreddi, publicado em 2007 pela editora espanhola Octaedro, acrescenta elementos significativos aos interessados nesse tema. O autor não se limita apenas a apontar as relações matemáticas ocultas na literatura, mas também as relaciona com a filosofia, a sociologia e a história das idéias científicas. Personalidade polêmica em seu país, Odifreddi é um dos membros mais conhecidos do OPLEPO (Opificio de Letteratura Potenziale), grupo de escritores inspirado nas idéias do grupo francês OULIPO (Ouvroir de Littérature Potentiel). Os membros destas ‘oficinas de literatura potencial’ dedicam-se a escrever romances ou poemas utilizando-se da matemática para compor a estrutura narrativa, criando, na literatura moderna, novas formas de apresentá-los aos leitores.

Com amplo conhecimento literário, o autor nos convida a imergir nos livros que analisou, apresentando-nos treze capítulos sobre as mais diversas obras e escritores, dentre os quais destacamos alguns dadas as limitações próprias a uma resenha. A seleção destes recortes deu-se não apenas por nosso gosto pessoal com relação aos autores e obras citadas, mas também porque são capítulos mais extensos e com mais informações. Mesmo assim, é impossível relatar resumidamente todas as situações analisadas pelo autor e as relações que ele faz entre as mais diversas áreas do conhecimento humano.

A noção de infinito é o tema do primeiro capítulo (Literatura do infinito)2. Odifreddi aponta que tal noção já estava presente nas narrativas do herói Hércules contra a Hidra: como cada cabeça cortada do monstro fazia surgir, em seu lugar, outras três, tal situação pode ser analisada como uma prefiguração das progressões geométricas. Alguns dos outros exemplos remetem ao paradoxo de Zenão, que pode ser encontrado desde as narrativas de Aristóteles, no texto Física, passando por Lo que la tortuga dijo a Aquiles3, de Lewis Carroll, até chegar à literatura contemporânea de Kafka e de Borges. Deste, em A morte e a bruxa4, quando um detetive é surpreendido pelo assassino que estava perseguindo, lê-se a seguinte conversa: − Em seu labirinto sobram três linhas – disse por fim −. Eu sei de um labirinto grego que tem uma única linha, reta. Nesta linha se perderam tantos filósofos que bem pode perder-se um mero detetive. Scharlach, quando em outro avatar eu lhe caçar, finja (ou cometa) um crime em A, logo um segundo crime em B, a 8 quilômetros de A, logo um terceiro crime em C, a 4 quilômetros de A e B, no meio do caminho entre os dois. Aguarde-me depois em D, a 2 quilômetros de A e C, de novo na metade do caminho. Mate-me em D, como agora vai matarme em Triste-le-Roy.

− Na próxima vez em que eu o matar – replicou Scharlach – prometolhe este labirinto, que consta de uma só linha reta e que é indivisível, incessante. Retrocedeu uns passos. Depois, muito cuidadosamente, disparou.(BORGES apud ODIFREDDI, 2007, p. 18-19, tradução nossa)

O segundo capítulo (Maravillas en el país de Alicia) trata das aventuras da personagem mais conhecida de Lewis Carroll, contando brevemente a origem de suas histórias e fazendo referências a ambos os livros dos quais Alice é protagonista: Aventuras de Alice no País das Maravilhas e Através do Espelho e o que Alice Encontrou por Lá.5 Riquíssimos em passagens ligadas à filosofia, lógica, psicologia e lingüística, entre outros, o autor enfatiza três coisas: a visão de ciência moderna que há em Através do Espelho e o que Alice Encontrou por Lá, de 1872, no qual aparecem idéias do mundo subatômico e das relações espectrais, os silogismos lógicos que ocorrem nos diálogos entre Alice e outros personagens (o Gato de Cheshire e o Cavaleiro Branco, por exemplo) e os jogos com as próprias palavras, criados por Carroll, que portam as definições de três níveis da linguagem: o semântico, o sintático e o metalingüístico6. Ainda brincando com sua língua original, Carroll inventou as palavras-mala, que seriam duas palavras pronunciadas conjuntamente, adquirindo um novo significado. É assim que ele define, em Algumas Aventuras de Sílvia e Bruno7, sillygism ao invés de silogism (silogismo), cuja origem seria a palavra silly (bobo).

Neste processo matemático-literário, as prim misses (erros solenes) levariam à delusion (desacerto). O tom jocoso no uso das palavras transpassa toda a obra de Carroll, e este é um dos fatos para o qual Odifreddi atenta o leitor: a tradução de obras de nonsense8 necessita de uma atenção maior e, ainda assim, alguns trocadilhos ou citações da obra de Carroll se perderão ao serem vertidos para outro idioma. Odifreddi também traça linhas de contato entre as obras de Carroll e as de Galileu e Plutarco, além de achar nelas passagens que podem motivar comparações e fundamentações com as teorias da linguagem de Wittgenstein, aproximando-se de aspectos da poesia figurativa e da criação de um novo idioma, algo semelhante ao que é apresentado por Jonathan Swift em As viagens de Gulliver, de 1726.

Outro autor que ganha destaque é Herman Hesse. Odifreddi destaca as principais idéias do autor que, apesar de tantas críticas, permanece como um dos de maior aceitação: seus livros Demian (1919), Viagem ao Oriente (1959) e O lobo da estepe (1927) são críticas ao sistema escolar, à sociedade ocidental e à burguesia. Em O jogo das contas de vidro (1943), Hesse rechaça a civilização tecnológica e, por conseguinte, o saber científico. A lógica matemática do O jogo das contas de vidro, juntamente com O lobo da estepe, representam, respectivamente, a crença do seu autor sobre o pensamento científico e matemático, ao mostrar que a contraposição entre matemática e ciência pode surpreender, estando estas unidas, normalmente, na visão popular, como arquétipos do saber racional. A diferença substancial entre elas pode ser sintetizada nos seguintes termos: a ciência é indutiva e parte das conclusões (feitos experimentais) para chegar às premissas (as leis que as ‘explicam’); a matemática é dedutiva e parte das premissas (axiomas) para chegar às conclusões (teoremas). Em termos de projeto, a ciência é conservadora, e seus proclamados ‘triunfos’ apenas tocam a crosta do mundo sensível; simetricamente, a matemática é progressista e suas ‘frias’ construções edificam novos mundos espirituais. Querendo levar o paralelismo ao extremo, até o campo político: a atitude matemática se observa na base das grandes tentativas de construção racional de uma nova sociedade, de Platão a Marx; e a atitude científica pode ser encontrada, por outro lado, na base das tentativas de justificar o mundo pelo que é, de Leibniz (o melhor dos mundos possíveis) a Edward Wilson (a sociobiologia) (ODIFREDDI, 2007, p. 51-52, tradução nossa) Além das idéias defendidas no texto, a estrutura do jogo de O jogo das contas de vidro envolve a capacidade de aplicar figuras e axiomas da geometria euclidiana a conceitos teológico-filosóficos.

Um dos capítulos que mais nos chamou a atenção é aquele sobre o autor italiano Italo Calvino. Em suas Cosmicomicas (1965), um gênero literário que “pretende instaurar uma relação com o sentido cósmico da mitologia antiga através do filtro cômico da arte moderna” (ODIFREDDI, 2007, p. 74), as personagens têm nomes impronunciáveis que mais se assemelham a fórmulas: G’d(w)n, Ph(i)Nk0, (k)yK. O personagem principal, Qfwfq, tem mais ou menos a idade do universo, ou seja, presenciou o Big Bang, a formação dos átomos, da Terra, da Lua e dos continentes, a evolução das espécies e até mesmo o fim da humanidade e do Sol.

Há dois livros interessantíssimos de Calvino, sob o ponto de vista das teorias matemáticas: O castelo dos destinos cruzados (1969) e Se um viajante numa noite de inverno (1979). O primeiro é exemplo do que Odifreddi chama de literatura combinatória e a história se desenvolve com as 72 cartas do Tarô Visconti: 12 são narradores e 60 dão vida às narrativas. “As 60 cartas se distribuem num crucigrama de figuras em forma de tabuleiro de 8 x 8, no qual ficam faltando quatro casas. Cada história consta de 16 cartas” (ODIFREDDI, 2007, p. 79), sendo que algumas estão presentes em mais de uma história, fazendo referência, assim, à intersecção de conjuntos. O outro livro traz a história do vão intento dos protagonistas de ler um exemplar completo de Se um viajante numa noite de inverno, de Italo Calvino, que assim toma a posição de personagem, além da de autor. “A tentativa se frustra dez vezes por defeitos, furtos, seqüestros e censuras dos diferentes exemplares, que na verdade são dez novelas escritas por dez autores em idiomas diferentes. Destes exemplares, se consegue ler somente dez começos, em dez situações de leitura” (ODIFREDDI, 2007, p.

87) e, por isso, os dez começos não passam da variação de um mesmo tema, uma reflexão sobre a busca da verdade, aqui representada pelo que seria a “verdadeira história”. Os “dez títulos foram escolhidos de modo que se podem ler em seqüência e constituem um undécimo começo da história” (ODIFREDDI, 2007, p. 88).

Dos capítulos mais curtos, destacamos os que dizem respeito ao A divina comédia, de Dante Alighieri, obra do século XIV, ao Dom Quixote de La Mancha, de Miguel de Cervantes, obra do início do século XVII, e aos casos de mistério do detetive inglês Sherlock Holmes, publicados entre 1887 e 1927 por Conan Doyle. Por este breve recorte é possível perceber que a matemática integra a fantasia e a literatura em diferentes épocas, estilos e gêneros.

Em A divina comédia, Dante põe Empédocles no limbo junto aos matemáticos Tales e Euclides (Inferno, IV, 137 e 142), e encontra a maneira de citar um teorema de cada um. Em verso: ‘ou, em um círculo, se outro que não retângulo triângulo coubesse’ e ‘que, como encergam as terranas mentes num triângulo caber um só obtuso’ (Paraíso, XIII, 101-102 e XVII, 15). Em prosa: um triângulo inscrito em um semicírculo tem que ser retângulo, e um triângulo só pode ter um ângulo obtuso. Estes exemplos denotam, sem dúvida, um conhecimento indireto da matemática grega, através de Aristóteles: o primeiro teorema está demonstrado, em efeito, nos Analíticos segundos (94a), e o segundo em Metafísica (1051a) (ODIFREDDI, 2007, p. 92, tradução nossa)9; além disso, o poeta descreve a Trindade como um círculo triplo impossível de quadrar, relacionando a infinitude de Deus e seus mistérios ao problema insolúvel da quadratura do círculo. E, enquanto o “Inferno tem a forma de um cone de secção triangular eqüilátera, com o vértice no centro da Terra e a altura passando por Jerusalém” (ODIFREDDI, 2007, p. 93-94), a estrutura do Paraíso é mais complicada e só pôde ser realmente entendida no século XX, pois trata-se de uma hiperesfera.

Dom Quixote é um livro repleto de paradoxos. Os próprios personagens principais, Dom Quixote e Sancho Pança, representam um, pois o primeiro, sendo um fidalgo, às vezes apresenta uma inexplicável irracionalidade, e o segundo, sendo ignorante, tem lampejos inesperados de racionalidade. Um dos paradoxos mais conhecidos da narrativa é o da travessia da ponte: O caso a resolver referia-se a uma ponte que a lei permitia ser cruzada somente depois que se declarasse o motivo pelo qual se desejava fazêlo.

Se a declaração fosse verdadeira, dava-se permissão. Caso contrário, a penalidade era a forca. Um dia apareceu um fulano que declarou que queria cruzar a ponte somente para ser enforcado conforme a lei.

Sancho notou que, dado que o fulano falava tanto a verdade quanto a mentira, era possível deixá-lo passar pela parte correspondente à verdade e enforcá-lo pela correspondente à mentira. Esta solução salomônica, mas paradoxal, alude, em forma de brincadeira, à outra séria, formulada por Aristóteles: quando uma frase parece ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa, em realidade trata-se de dois aspectos distintos da mesma (ODIFREDDI, 2007, p. 97, tradução nossa).

Para finalizar, comentamos os métodos de investigação do famoso detetive Sherlock Holmes, apontados por Odifreddi como sendo quatro: observação, dedução, retrodedução e abdução. A dedução é citada por Conan Doyle como sendo o mesmo método infalível utilizado nas proposições de Euclides, do qual das premissas se chega à conclusão, enquanto a retrodedução faz o caminho contrário. Já nas investigações reais, incluindo as científicas, Odifreddi afirma que prevalece o método da adivinhação, mas não da maneira arbitrária da literatura policial, que funciona somente porque o autor construiu tudo de forma que possa funcionar, senão através de uma ‘lógica do descobrimento’ que muitos tentaram codificar, sem nunca conseguir (nem mesmo Popper). Com boas motivações biológicas, provavelmente, pois a natureza nos deu intuição e razão para afrontar situações complementares à vida, uma vez que as circunstâncias requerem decisões às vezes aproximadas, mas imediatas, ou bem exatas, mas elaboradas.

O momento mais delicado em que a adivinhação intervém nas pesquisas é o da escolha dos casos a examinar, porque estes predeterminam as soluções. De fato, como Holmes mesmo afirma, ‘quando se eliminou tudo o que é impossível, o que resta, ainda que seja improvável, há de ser a verdade’. Portanto, para evitar deduzir uma bobagem como se fosse verdade, é preciso evitar postular bobagens como verdades possíveis. (ODIFREDDI, 2007, p. 102, tradução nossa).

Conforme afirmamos no início desta resenha, há ainda outros autores apresentados no livro, e outros comentários às obras destes. Seria impossível abordar, em poucas páginas, ainda que sucintamente, todo esse conteúdo. O livro de Odifreddi abre passagem para outros olhares sobre a matemática e faz despontar, naqueles que gostam de ler, o desejo de procurá-la em outros livros e descobri-la em outras narrativas. Juegos matemáticos ocultos en la literatura é um livro que não acaba em si mesmo, pois pode ser vastamente complementado com os outros que são nele citados, de modo que o leitor pode conferir as análises de Odifreddi e também fazer as suas próprias. Outro aspecto de suma importância: não é apenas um livro em que a Matemática surge como tema central, junto à Literatura, nem somente uma obra de entretenimento: é uma agradável simbiose destas duas coisas.

Notas

2 Mantemos, nesta resenha, os títulos dos capítulos conforme aparecem no livro; no entanto, sempre faremos referência aos títulos em português, quando os há disponíveis.

3 Não encontramos nenhuma tradução desta obra para a língua portuguesa, a não ser aquela disponível em http://www.scribd.com/doc/7073355/Lewis-Carroll-O-Que-o-Jabuti-Disse-a-Aquiles.

4 Este conto de Borges pode ser encontrado em Jorge Luis Borges – Obras completas I, editado pela Editora Globo em 2000.

5 Há inúmeras traduções e edições destes livros de Carroll em língua portuguesa. Aqui optamos por manter os títulos apresentados na edição conjunta, comentada por Martin Gardner, publicada pela Jorge Zahar Editor em 2000.

6 para tal, ver o Capítulo III de Através do Espelho…, no qual Alice adentra num jardim em que as coisas não têm nome, mas existem como coisas-em-si.

7 Em português há apenas alguns capítulos traduzidos do original de dois volumes, publicados com o título Algumas aventuras de Sílvia e Bruno (Editora Iluminuras, 1997). Nestes capítulos não consta o trecho apontado por Odifreddi.

8 Nonsense, oriundo do francês non-sens, é um termo utilizado para designar algo sem sentido, irreal, fora dos parâmetros comuns, desprovido de razão.

9 As traduções do Paraíso, XIII, 101-102 e XVII, 15, são da edição traduzida por Italo Eugenio Mauro e publicada pela editora 34, São Paulo, 1998.

Rafael Montoito – Doutorando do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência da Faculdade de Ciências – UNESP – Bauru. xmontoito@ig.com.br

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Desafios da Reflexão em Educação Matemática Crítica – SKOVSMOSE (Bo)

1 de janeiro de 2010

SKOVSMOSE, Ole. Desafios da Reflexão em Educação Matemática Crítica. Tradução de Orlando de Andrade Figueiredo e Jonei Cerqueira Barbosa. Campinas: Papirus, 2008. Resenha de: KISTEMANN JR, Marco Aurélio. BOLEMA, v. 23 n. 37, 2010.

Na introdução de seu livro, Ole Skovsmose afirma que a Educação Matemática Crítica está se desenvolvendo, apresenta as etapas de sua evolução e narra como surgiu seu interesse por este tema, nos anos 1970. Segundo Skovsmose (2000, p.12), “a educação crítica desencadeou uma reação contra o currículo conduzido pelo professor e contra as aclamadas neutralidade e objetividade da ciência”.

A idéia de educação crítica espalhou-se por todos os níveis do sistema educacional, influenciando, substancialmente, a educação matemática e o ensino de ciências, fazendo surgir a educação matemática crítica. O autor apresenta de forma sucinta as inspirações teóricas que embasaram a educação crítica e, por extensão, influenciaram a educação matemática crítica. Visando a cumprir o objetivo emancipatório2, cita Paulo Freire referindo-se à relevância da noção de diálogo na caracterização dos processos educacionais. Outra fonte de inspiração importante é a Teoria Crítica elaborada pela Escola de Frankfurt que propaga a idéia de uma educação crítica como uma educação orientada pela emancipação.

Ao longo da Introdução, Skovsmose segue relatando que a abordagem por ele formulada, em contexto europeu, nos anos 1970 e 1980, e apresentada no livro Towards a philosophy of critical mathematics education, de 1994, não se adequava em alguns outros contextos, tendo sido necessário reformulá-la. Visitando o Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática da UNESP, em Rio Claro, Skovsmose toma consciência do que pode significar a preocupação da educação matemática com a diversidade e os conflitos culturais. Assevera que distintas correntes de pensamento fazem parte desse enfrentamento e que a noção de globalização suscita uma discussão em torno de qual seria o papel da educação matemática em contextos sócio-políticos, econômicos e culturais distintos.

No primeiro capítulo, “Cenários para Investigação”, o autor relata que, em grande parte das salas de aula, a educação tradicional enquadra-se no que ele denomina “paradigma do exercício”, no qual a premissa central seria a de que em cada exercício existe uma e somente uma resposta correta. Contrapondo-se a esse paradigma, o autor propõe a abordagem de investigação passível de tomar variadas formas.

Para o pesquisador, uma abordagem de investigação relaciona-se diretamente com a educação matemática crítica, no desenvolvimento da materacia, ou seja, desenvolver a capacidade de interpretar e analisar sinais e códigos, de propor e utilizar modelos na vida cotidiana, de elaborar abstrações sobre representações do real, além de cuidar das habilidades matemáticas, preocupando-se com as competências referentes à interpretação e à ação numa situação social e política estruturada pela matemática.

Assim, a educação matemática crítica interessa-se pelo desenvolvimento da educação matemática como suporte da democracia, implicando que os grupos de investigação (microssociedades) de salas de aulas de matemática devem também pautarse por parâmetros democráticos.

Um “cenário para investigação” é uma propriedade relacional envolvendo o professor e seus alunos, mas os alunos são os principais responsáveis pelo processo investigativo. Neste contexto, percebe-se, pelas ideias expostas, que as salas de aula baseadas em cenários para investigação diferem-se significativamente daquelas fundadas no paradigma do exercício. As diferenças entre elas relacionam-se às “referências” que visam a levar os estudantes a produzir significados para atividades e conceitos matemáticos. Categorizando de forma bastante didática, ambas as abordagens, Skovsmose as referencia sob três óticas: a da Matemática Pura, a da Semi-Realidade e a da Realidade. Para cada uma das duas abordagens (a parametrizada pelo paradigma do exercício e a dos cenários de investigação), apresentam-se variados exemplos com rica caracterização, descrevendo as ações docentes e discentes, os tipos de exercícios e os ambientes de sala de aula de matemática onde se desenvolvem as ações. Enfatiza-se, ainda que, os projetos apresentam diferentes aspectos do ambiente de aprendizagem do tipo “Cenários de Investigação”, com amplas referências à realidade das situações. As referências são reais, tornando possível aos alunos produzir diferentes significados para as atividades e não somente para os conceitos.

Fica explícito que o professor, no contexto dos “Cenários”, tem o papel de orientar os alunos nas investigações, de forma que a reflexão crítica sobre a matemática e a modelagem matemática ganha um novo significado. Skovsmose não pretende oferecer uma classificação estática e rígida sobre “Exercícios” e “Cenários para Investigação”, mas, sobretudo, elaborar uma idéia do que sejam “Ambientes de Aprendizagem”, com vista a facilitar as discussões sobre mudanças na Educação Matemática.

Skovsmose (2000) afirma que, em geral, melhorias na educação matemática estão intimamente ligadas à quebra de contrato didático. Quando inicialmente sugeri desafiar o Paradigma do Exercício, isso pode ser visto também como uma sugestão de quebrar o contrato da tradição da matemática escolar. (p. 63)

Da perspectiva dos professores, isso caracteriza o movimento de uma zona de conforto para uma zona de risco3, segundo a terminologia de Penteado. Para Skovsmose, o movimento entre os diferentes ambientes possíveis de aprendizagem e a ênfase especial no Cenário para Investigação causarão certa incerteza que não deve ser eliminada, mas, sobretudo enfrentada, diagnosticada e investigada4.

Encerra-se o primeiro capítulo com questionamentos referentes aos modos de se buscar desenvolver uma Educação Matemática preocupada com a democracia numa sociedade estruturada por tecnologias, uma Educação Matemática que não torne opaca a introdução, aos alunos, do pensamento matemático, mas que os leve a reconhecer suas próprias capacidades matemáticas, conscientizando-se da forma pela qual a Matemática opera em certas estruturas tecnológicas, militares, econômicas e políticas5.

O segundo capítulo – intitulado “Riscos trazem possibilidades” –, uma coautoria com Miriam Godoy Penteado, tem como propósito principal discutir o emprego de computadores em salas de aula. Para tal, os autores optam por usar as noções de Quarto Mundo e sociedade em rede, expressões cunhadas por Manuel Castells6.

Skovsmose e Penteado pretendem analisar a introdução da tecnologia da informação e comunicação (TIC) nas escolas como uma possibilidade para que os jovens aproximemse da sociedade em rede como usuários, bem como discutir possibilidades e implicações da presença da TIC em escolas de fronteira7 com base no caso das escolas brasileiras.

Os pesquisadores discutem de forma bastante aprofundada o modo como os computadores estão sendo usados por um grupo particular de professores de matemática nas escolas estaduais de São Paulo. Tais professores pertencem à Rede Interlink8. São ressaltadas as dificuldades enfrentadas, pelas escolas, para adoção da TIC, uma vez que a estrutura não favorece muitas vezes a participação conjunta de todos os alunos e que há o problema da manutenção das máquinas e, muitas vezes, aqueles causados pela frágil segurança dos estabelecimentos de ensino (PENTEADO; SKOVSMOSE, 2002).

Finalizando o segundo capítulo, dois pontos são explicitados pelos pesquisadores e merecem destaque. O primeiro ressalta que a introdução dos computadores em salas de aula não deve ter como única preocupação os ganhos de aprendizagem, mas sim sua potencialidade de provocar discussões e reflexões de e sobre uma ótica sociopolítica. O segundo ponto diz respeito aos riscos que os professores têm de enfrentar quando da introdução da TIC no seu cotidiano de ensinoaprendizagem (quando vêm à cena as noções das zonas de Risco e de Conforto).

O capítulo terceiro, “Desafios da Reflexão”, inicia-se com a afirmação sobre a dificuldade de se definir “reflexão”. No entanto, Skovsmose desenvolve a noção de reflexão concernente à aprendizagem e à matemática optando por ponderar sobre aquilo que pode servir de objeto de reflexão e, mais especificamente, sobre as reflexões sobre ações. Em seguida, Skovsmose define o que entende por matemática em ação, referindo-se às práticas que incluem a matemática como parte constituinte de si mesmas como, por exemplo, a inovação tecnológica, a produção, a automação, o gerenciamento e a tomada de decisão, as transações financeiras, a estimativa de riscos, as análises de custo-benefício etc. De acordo com o pesquisador, a matemática em ação está implícita em procedimentos mecanizados, o que a torna passível de ser objetos de reflexão.

Neste mesmo capítulo, no tópico “A necessidade da reflexão”, Skovsmose questiona o leitor sobre a necessidade de se refletir sobre a matemática e sobre sua aplicação nos diversos ramos da atividade humana. Oferece ricos argumentos que ratificam a importância das reflexões, buscando refugar dos domínios da matemática qualquer forma de banalidade presente na especialização. No tópico seguinte, o pesquisador ressalta o papel que os sistemas educacionais possuem de suprir mão-deobra qualificada de acordo com uma matriz que representa a demanda social por competências. Finalizando o capítulo, o pesquisador defende alguns pontos primordiais para guiar as discussões acerca das reflexões que devem permear a prática de uma educação matemática crítica e reflexiva.

O penúltimo capítulo, “Racionalidade sob Suspeita”, Skovsmose inicia seu questionamento citando John Dewey sobre a ciência como força motriz do progresso. Para Dewey (1996), o método científico tem resultados pródigos e prolíferos que extrapolam as fronteiras da ciência, e a educação faz progressos quando incorpora esse método do que se conclui, portanto, que a lógica da ciência nos coloca na direção da democracia. O autor do livro aponta duas questões que servirão como guia às considerações deste capítulo: “Como podemos entender os possíveis papéis sociopolíticos da racionalidade baseada em Matemática?” e “Como podemos entender os possíveis papéis sociopolíticos da Educação Matemática?”.

Eximindo-se de abraçar o otimismo exacerbado de Dewey, Skovsmose tece suas análises buscando não partir de premissas alicerçadas sobre a racionalidade baseada em matemática. Para tal faz-se necessário, segundo o pesquisador, esclarecer o que se entende por “racionalidade baseada em matemática”. Para ele, a matemática é a grande representante de um tipo de racionalidade impregnada em nossa tecnonatureza e em nossos mundos-vida. Para defender seu ponto de vista, detalhadamente e de forma precisa, interroga-se sobre como a fabricação de possibilidades, estratégias, fatos, contingências e perspectivas ocorre atreladamente à Matemática.

Ao longo do capítulo, Skovsmose ainda aborda temas relevantes ligados à tradição matemática escolar e às funções dessa tradição em relação aos desenvolvimentos social, econômico e tecnológico. Ressalta que, na sociedade do conhecimento, Classificação e Diferenciação emergem como ações identificadoras de competências, e que a avaliação e a classificação dos alunos, como ocorrem na escola, fazem surgir as constantes preocupações com testes e mensurações, bem como a defesa da noção de competências. Finalizando o capítulo são abordados temas que envolvem a educação matemática e sua prática: filtragem ética, cidadania crítica e empowerment9.

O capítulo 5, “Educação Matemática Crítica rumo ao futuro”, encerra o livro com os seguintes questionamentos de Skovsmose: “A educação matemática crítica representa uma forma de pensamento para a qual não há mais espaço no mundo contemporâneo?” “É ela um resquício de um movimento de esquerda que existiu na educação e está ultrapassado?” “E, se não for, qual é o significado de educação matemática crítica hoje?” “E o que dizer de seu futuro?“. Examina-se a proposição “A educação matemática é crítica” antes de tentar esclarecer, de modo mais definitivo, a noção de “educação matemática crítica”, ressaltando as preocupações dessa matemática crítica os processos de globalização e guetorização, as premissas da modernidade, a “matemática em ação” e suas ponderações sobre poder e matemática, as formas de submissão aplicadas por meio da educação matemática, e a relação entre educação matemática, empowerment e disempowerment (SKOVSMOSE; ALRØ, 2006).

Finalizando o capítulo, o autor tece reflexões acerca das premissas da modernidade, questionando-as e enfatizando não ser possível pressupor que haja uma ligação intrínseca entre o progresso científico e o progresso sociopolítico em geral. Para o pesquisador, conhecimento e poder interpenetram-se, e, no coração dessa interpenetração, encontra-se a “matemática em ação”. Não podemos eliminar a “matemática em ação” que impulsiona nosso desenvolvimento sociotecnológico, mas é necessário discutir a globalização, a formação de guetos, as propostas de superação das premissas da modernidade, analisar a relação “matemática e poder” e tratar as noções de empowerment e disempowerment sob uma fundamentação teórica e epistemológica sólida. Lidar com tais preocupações implica reconhecer a incerteza: a incerteza acompanha a educação matemática crítica rumo ao futuro.

O livro de Ole Skovsmose, Desafios da Reflexão em Educação Matemática Crítica, é leitura obrigatória para todos os educadores, sejam da área de matemática ou não, pois aborda temas concernentes a práticas docentes, na medida em que tem como objeto as práticas pedagógicas e enfatiza a importância da reflexão nas ações em educação. Skovsmose nos convida a rever posturas e buscar novos caminhos para a escola e a sala de aula de Matemática do século XXI.

Notas

2 O processo emancipatório freireano decorre de uma intencionalidade política declarada e assumida por todos aqueles que são comprometidos com a transformação das condições e de situações de vida e existência de oprimidos, contrariamente ao pessimismo e fatalismo autoritário defendidos pela pósmodernidade e ao mecanismo etapista do marxismo ortodoxo, que afirma o processo de transformação social como sendo certo e inevitável. O objetivo emancipatório defendido por Paulo Freire e, por extensão, por Skovsmose, também contempla o chamado multiculturalismo, no qual o direito de ser e de agir diferente numa sociedade dita democrática, enquanto uma liberdade conquistada de cada cultura, também deve proporcionar um diálogo crítico entre as diversas culturas, tendo por fim ampliar e consolidar os processos de emancipação.

3 Essa noção foi introduzida por Penteado (2004) em seu estudo sobre as experiências do professor num novo meio de aprendizagem no qual os computadores representam um papel crucial. Em particular, quando o professor deixa a zona de risco ele elimina possibilidades de aprendizagem associadas à idéia de computadores como reorganizadores do ambiente de aprendizagem.

4 Os computadores na Educação Matemática têm auxiliado o estabelecimento de novos cenários para investigação, desafiando a autoridade do professor (tradicional) de Matemática. Como descrevem Borba e Villareal (2005), os computadores reorganizam nosso pensamento, influenciando muitas coisas, em particular a forma como o significado é produzido. A idéia completa de “reorganização” liga-se fortemente à idéia de “zona de risco”. De acordo com a pesquisa de Penteado (2004), uma condição importante para os professores se sentirem capazes de atuar na zona de risco é o estabelecimento de novas formas de trabalho colaborativo.

5 A expectativa de Skovsmose estabelece-se na busca de um caminho entre os diferentes ambientes de aprendizagem, proporcionando novos recursos para levar os alunos a agir e a refletir, oferecendo, dessa maneira, uma Educação Matemática de dimensão crítica (SKOVSMOSE, 2000).

6 Quarto Mundo e sociedade em rede são expressões fortemente relacionadas, visto que o Quarto Mundo representa a parcela da sociedade excluída da sociedade de rede. A sociedade em rede é também denominada, muitas vezes, sociedade da informação. A sociedade em rede e o Quarto Mundo estão no centro das discussões sobre inclusão e exclusão.

7 Entende-se por Escolas de Fronteira aqueles estabelecimentos de ensino nos quais tanto a sociedade em rede quanto o Quarto Mundo estão presentes, face a face.

8 A Interlink é uma rede de professores, pesquisadores e licenciandos interessados no uso da TIC em Educação Matemática. Esta rede congrega professores de escolas públicas que dedicam de uma a três horas semanais para atividades pedagógicas conjuntas, a fim de planejarem práticas para a sala de aula.

Adicionalmente, existe um canal de comunicação virtual baseado em ferramentas da internet: e-mail, homepages e a lista de discussão (http://www.rc.unesp.br/igce/matematica/interlk). A maioria das escolas associadas à Rede Interlink representam o que os pesquisadores chamam de Escolas de Fronteira. O objetivo da rede Interlink é explorar a relação entre teoria e prática na educação matemática. Seu foco principal é a implementação do uso de tecnologia da informação e comunicação na constituição de espaços educacionais.O grupo se comunica através de uma lista eletrônica.A rede Interlink é coordenada pela professora Miriam Godoy Penteado, livre-docente do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Departamento de Matemática, IGCE – UNESP – Campus de Rio Claro – SP.

9 Este termo significa dar poder a, dinamizar a potencialidade do sujeito ou investir-se de poder para agir.

Referências

BORBA, M.C.; VILLAREAL, M. Humans-with-media and a reorganization of mathematical thinking: information and communication. Technologies, modeling, experimentation and visualization. Nova York: Springer, 2005.

DEWEY, J. Democracy and Education: an introductionto to the philosophy education. Nova York/Londres: Free Press, 1996.

PENTEADO, M.G.; SKOVSMOSE, O. Risks includes possibilities. Publication, Copenhage, Roskilde e Aalborg, Centre for Research in Learning Mathematics, Danish University of Education, Aalborg University, v.1, n.34, p. 63-85, 2002).

PENTEADO, M. G. Redes de trabalho: expansão das possibilidades da informática na educação matemática da escola básica. In: BICUDO, M.A.V; BORBA, M.C. (Orgs.). Educação Matemática em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. p. 283-295.

SKOVSMOSE, O. Towards a philosophy of critical mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994.

SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. BOLEMA, Rio Claro, v. 13, n.14, p.66- 91, 2000.

SKOVSMOSE, O.; ALRØ, H. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

Marco Aurélio Kistemann Jr. – Doutorando em Educação Matemática – UNESP – Rio Claro. Email: mathk@ig.com.br

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Traços e paisagens: a educação matemática nas décadas de 1960 e 1970 – BARALDI; GARNICA (Bo)

1 de janeiro de 2009

BARALDI, Ivete Maria; GARNICA, Antonio Vicente Marafioti. Traços e paisagens: a educação matemática nas décadas de 1960 e 1970. Bauru: Canal 6, 2005. Resenha de: GODOY, Elenilton Vieira. BOLEMA, Rio Claro, n.34, p.303-308, 2009.

O livro foi dividido em três volumes, cada um deles identificado pela primeira letra dos alfabetos latino (A), grego (– Alfa) e hebraico ( – א Alef). Com isso, os autores pretendiam mostrar a in(ter)dependência dos volumes em relação à leitura. O resultado dessa in(ter)dependência pode ser observado no volume Alfa (“Vozes da literatura”), pois no início de cada “Ponto de Fuga” (nome dado aos autores para os textos específicos gerados a partir dos depoimentos dos professores), é apresentada uma síntese dos depoimentos dos professores acerca daquela “tendência”. A palavra “tendência” foi usada pelos autores para significar temas que aparecem no discurso dos diferentes depoentes, os “… elementos de convergência detectados a partir dos depoimentos coletados…”.

O volume Alef, intitulado “Nossa voz”, traz algumas considerações a respeito da relação entre a História Oral e a Educação Matemática; sendo a História Oral uma metodologia de pesquisa qualitativa que, segundo Garnica, ainda não é muito utilizada nas pesquisas em Educação Matemática, sendo poucos, à época, os trabalhos conhecidos que, explicitamente, a assumiam como fundante metodológico. Neste volume são apresentados alguns trabalhos em Educação Matemática que tomam a História Oral como metodologia de pesquisa. Baraldi e Garnica trazem à tona as diferentes formas de conceber a História Oral, posto que alguns autores a percebem como técnica, disciplina e também como metodologia científica. Ainda neste volume, os autores estabelecem relações entre História, História Oral e Educação Matemática e, também, acerca das concepções de História e Historiografia.

Sem querer alongar minhas considerações sobre este volume, gostaria de mencionar ainda que, conforme destacado pelos autores, embora muitos historiadores recorram às fontes orais, o padrão historiográfico positivista, imposto no século XIX, privilegiava o uso de fontes escritas. Sob esses parâmetros, os documentos orais passam a ser questionados. O domínio da Historiografia clássica, com o tempo, vai sendo flexibilizado a ponto de, no século XX, surgir formas alternativas como a História Oral. A implantação e evolução dessa metodologia, no Brasil, é também tema deste volume do livro, no qual Baraldi e Garnica também delineiam o cenário da pesquisa; descrevem a organização do trabalho que é pautada nas vozes da cada um dos interlocutores – os professores de matemática depoentes, a literatura sobre o tema em questão e os próprios autores e seus pontos de vista. Por fim, apresentam alguns elementos acerca da formação do professor de Matemática e destacam um fato que é notório no início da carreira docente de qualquer professor, seja ele de Matemática ou não: a reprodução da prática em sala de aula de seus antigos professores, ou seja, os docentes ministram suas aulas tal como a vivenciaram anteriormente como estudantes. Uma questão sobre a qual outros estudos poderiam debruçar-se seria – Quais são os motivos que levam o professor a reproduzir a prática de sala de aula de seus antigos professores? Os autores destacam, ainda, que, para seus depoentes, muitos conceitos matemáticos foram aprendidos sozinhos, quando da necessidade de ensiná-los.

No volume Alfa, “Vozes da literatura”, os autores discutem os Pontos de Fuga “A região de Bauru”, “Trens e Trilhos, “CADES”, “Matemática Moderna” e “A Lei 5692”. No Ponto de Fuga “A região de Bauru” são apresentadas algumas características, da cidade de Bauru e das cidades ao redor dela (Botucatu, Jaú, Pederneiras e São Carlos), contexto geográfico em que estão situados os depoentes. Em “Trens e trilhos”, os autores fazem uma breve retrospectiva histórica do papel das ferrovias brasileiras que costuraram a região de Bauru, os aspectos positivos, negativos e um outro, no mínimo curioso, que foi o crescimento do “comércio do prazer” em torno da ferrovia. Além disso, neste “Ponto de Fuga” dá-se atenção às três ferrovias que atendiam a região de Bauru (a Companhia Paulista, a Noroeste do Brasil e a Sorocabana), destacando o início, o ápice e o declínio de cada uma das três companhias; No Ponto de Fuga “CADES”, Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário, os autores destacam os fatores que motivaram a sua criação, as suas finalidades, o início das atividades da CADES, os cursos preparatórios promovidos pela Campanha, a relevância destes cursos para a formação do professor, ou melhor, para a atribuição, aos aprovados, do registro de professor do ensino secundário e o direito de lecionar onde não houvesse disponibilidade de licenciados por Faculdade de Filosofia e, por fim, discutem sua extinção, no final da década de 1960, quando do surgimento das primeiras faculdades no interior de São Paulo. Considerações acerca da Orientação Educacional cadesiana também apareciam nos documentos e livros da CADES, e foram destacados pelos autores neste “Ponto de Fuga”, bem como as atividades do professor Júlio Cesar de Mello Souza (Malba Tahan) junto aos cursos oferecidos pela CADES.

No Ponto de Fuga “Matemática Moderna”, Baraldi e Garnica destacam os fatores que determinaram o nascimento desse movimento no mundo, a chegada do Movimento da Matemática Moderna (MMM) no Brasil, a importância da criação do GEEM (Grupo de Estudos do Ensino de Matemática), em São Paulo, pela CENP (Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas), o impacto do MMM na educação brasileira, e o seu declínio, na época da organização dos guias curriculares estaduais.

No último Ponto de Fuga “A lei 5692”, inicialmente, os autores apresentam aspectos da Lei 4024/61, até então vigente e, posteriormente, destacam as alterações no ensino geradas pela Lei 5692/71, criada com o objetivo de atualizar e expandir o ensino a crianças e adultos. A LDBEN 5692/71 teve seu modelo importado de países estrangeiros e a discussão sobre esta lei é motivada pelas freqüentes menções que os depoentes do estudo fazem a ela. Segundo esses depoentes, a importância dessa legislação não se deve somente à mudança por ela causada na seriação do sistema educacional brasileiro, mas também por a considerarem responsável tanto pela desvalorização dos salários e das condições de trabalho dos professores, quanto pela falta de investimento no setor, que se expandiu consideravelmente graças à obrigatoriedade do ensino até a última série do primeiro grau.

No volume A, “Vozes de professores de matemática: mosaico de vidas”, os autores trazem à tona os depoimentos de oito professores de matemática da região de Bauru, que estavam em exercício do magistério nas décadas de 1960 e 1970 em escolas de ensino fundamental ou médio. O período escolhido pelos autores compreende uma época em que não havia faculdades ou universidades para a formação de professores de Matemática na região e também pela relação – pessoal e profissional – que os autores têm com a região de Bauru.

Os professores depoentes3 tinham um roteiro não fechado a seguir. Nele, o depoente falava, dentre outras coisas, sobre a sua formação profissional, a diferença entre a formação universitária no interior e na capital, o trabalho como professor de matemática no início e no final da carreira, os educadores matemáticos significativos para sua formação, sobre os alunos que formaram, o trabalho na época do regime militar, a degradação da carreira docente e a importância da região de Bauru na formação do professor de Matemática e na difusão da Educação Matemática.

No relato dos depoentes, percebem-se diferenças entre a formação do professor da capital e do interior, pois na capital as possibilidades de cursos para formação eram mais variadas. Esses professores, via-de-regra, assumem como negativas as influências do Movimento da Matemática Moderna, e afirmam que na década de 1950 não existia, na região, professores com formação específica; que a Matemática a ser ensinada deveria estar mais próxima dos alunos, do cotidiano deles, ser mais prática e, por fim, que os professores de Matemática pouco ou nada se envolveram nas questões e atividades políticas da época da ditadura militar.

Ainda dos relatos dos depoentes surge a crítica aos cursos de licenciatura, que não focavam o ensino real, as atividades de sala de aula. Os relatos ainda apontam para a carência de materiais didáticos que apresentassem diferentes abordagens aos conteúdos matemáticos em sala de aula.

Um último ponto fortemente marcado nos relatos dos professores foi a degradação do ensino público, o desinteresse dos alunos e, por conseguinte, o desrespeito ao docente, o desestímulo do professor devido à redução brusca da remuneração, o declínio do status da profissão e a decorrente queda de prestígio da carreira. O salário que nas décadas de 1950, 1960 e 1970 era um atrativo para a profissão, a partir da década de 1980 começou a ter quedas bruscas, obrigando bons profissionais a migrarem para outras áreas. Destacam ainda os depoentes que, segundo suas perspectivas, a escola pública era melhor do que a escola privada, e que os alunos procuravam instituições particulares, via-de-regra, quando não havia vagas ou eram reprovados no exame de admissão aos colégios estaduais.

Ressalto a riqueza do trabalho desenvolvido por Baraldi e Garnica, a relevância das questões consideradas no roteiro e conseqüentemente, dos depoimentos dos professores que, no mínimo, nos fazem parar e refletir sobre o atual momento da educação básica brasileira.

Notas

1 O livro “Traços e paisagens: a educação matemática nas décadas de 1960 e 1970” é um recorte (uma adaptação) da tese de doutorado de Ivete Maria Baraldi, intitulada “Retraços da Educação Matemática na região de Bauru (SP): uma história em construção”, defendida em 2003, na UNESP de Rio Claro, sob a orientação do professor Antonio Vicente Marafioti Garnica.

3 Os professores depoentes foram João Linneu do Amaral Prado, Vera Macário, Rubens Zapater, Miriam Delmont, Vilma Maria Novaes da Conceição, Ana Maria Cardoso Ventura, Antonio Augusto Del Preti e Milton de Oliveira.

Elenilton Vieira Godoy – Doutorando da FEUSP, docente do Centro Universitário Fundação Santo André e do Centro Universitário da FEI. E-mail: elenilton@usp.br

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Osvaldo Sangiorgi – um professor moderno – VALENTE (Bo)

1 de janeiro de 2009

VALENTE, W. R. (Org.). Osvaldo Sangiorgi – um professor moderno. São Paulo: Editora Annablume/CNPq/GHEMAT, 2008.Resenha de: WANATABE, Renate. BOLEMA, Rio Claro, n.32, p.255-258, 2009.

Escrito por membros do GHEMAT (Grupo de Pesquisa da História da Educação Matemática no Brasil), sob a coordenação do professor Dr.Wagner Rodrigues Valente, o livro contém uma coleção de textos que retrata, fortemente apoiado em depoimentos e documentos, o Movimento da Matemática Moderna no Brasil, nas décadas 60, 70 e início de 80, movimento este, bem como o livro, centrados na figura carismática do Professor Osvaldo Sangiorgi.

O livro inicia com um tocante prefácio, escrito pela filha Vera Maria Sangiorgi, seguido de uma apresentação feita pela professora Regina Maria Pavanello, testemunhando a influência que Sangiorgi teve na sua vida e na de tantos outros professores de Matemática.

O Capítulo I foi escrito por Wagner Rodrigues Valente. Após uma breve descrição do ambiente educacional da primeira metade do século XX, o autor analisa a trajetória de Osvaldo Sangiorgi, dos livros didáticos de Matemática da Editora Nacional e os anos iniciais do Movimento da Matemática Moderna. O autor apóia-se em cartas, publicações, entrevistas com Osvaldo Sangiorgi, em dados estatísticos obtidos da Editora Nacional e em artigos publicados em jornais, revistas da época. Os três temas, fortemente interligados, descritos numa linguagem atraente, de fácil leitura, oferecem um quadro global do ensino da Matemática no Brasil nas décadas de 50 a 80.

O Capítulo 2, escrito por Elizabete Búrigo, retrata o pensamento de Sangiorgi e de matemáticos de outros países nas passagens do ensino “antigo” da Matemática para um ensino “moderno” e deste para a fase pós-matemática moderna. Descreve os considerados defeitos do então ensino tradicional da Matemática, ressalta a necessidade de mudança sentida em vários países e o desejo de tornar prazeroso e eficiente o ensino de uma Matemática ao mesmo tempo mais fácil e mais próxima daquela ensinada nas universidades. O capítulo contém muitos trechos transcritos de livros das coleções “Matemática-curso ginasial” (edições dos anos 60-65) e “Matemática-curso moderno” (edições dos anos 67-71), mostrando como conceitos básicos – número natural, fração e muitos outros – são apresentados numa e noutra coleção. O capítulo destaca as crenças fundamentais de Sangiorgi, que o levaram à introdução da Matemática Moderna no ensino brasileiro, e analisa quais crenças permaneceram e quais sofreram mudanças com o passar dos anos.

O Capítulo 3 é dedicado à Geometria e foi escrito por Maria Célia Leme da Silva. Menciona três correntes para o ensino da Geometria que tiveram defensores na Europa e nos Estados Unidos: o ensino via Álgebra Linear, via Transformações Geométricas e um ensino modernizado, porém apoiado nos postulados de Euclides. Novamente, a ênfase do capítulo é mostrar como Sangiorgi transferiu as várias idéias “modernas” para os seus livros didáticos, sem se comprometer com nenhuma das correntes. O procedimento segue as linhas do Capítulo 2: é feita uma comparação entre a Geometria apresentada no livro “Matemática para a 3ª série ginasial” (78ª edição, 1964) e “Matemática-curso moderno”, 3º volume, 1969. São comparados os prefácios, nos quais Sangiorgi expõe seus pensamentos sobre Geometria e o seu ensino, antes e após o aparecimento da Matemática Moderna. Comparação análoga é feita com os índices dos dois livros, bem como com alguns conceitos. O capítulo contém também uma listagem de livros e documentos produzidos em outros países que embasaram a Geometria apresentada por Sangiorgi em seus livros da coleção “Matemática-curso moderno”.

O Capítulo 4 tem como tema o GEEM – Grupo de Estudos do Ensino da Matemática, tratado pelas professoras Laurizete Passos e Flainer Lima. Contrariamente aos anteriores, esse capítulo, ligeiramente confuso, parece apoiar-se, na sua essência, no depoimento de duas pessoas. Descreve atividades do GEEM, mas contém alguns erros factuais, principalmente nas páginas 112 e 113 que poderão ser corrigidos por meio de uma errata. Há uma omissão: uma das atividades mais importantes do GEEM foi a publicação de livros, dez ao todo, destinados a professores do primário e secundário, que continham as idéias e tópicos da Matemática Moderna. No início da década de 60, esses tópicos estavam contidos apenas em livros avançados de Matemática, a maioria deles em inglês ou francês e, portanto, fora de alcance para a maioria dos professores. Os livros publicados pelo GEEM, escritos por professores universitários, usados nos cursos, continham os conhecimentos básicos da Matemática Moderna, num nível e numa dosagem considerados adequados para a atualização dos conhecimentos dos professores de Matemática da época.

No Capítulo 5, de autoria da professora Neuza Bertoni Pinto, lê-se a história de uma professora normalista que no início dos anos 60 foi convidada a assumir as aulas de Matemática da 1ª série ginasial, numa pequena cidade do Paraná. A professora (hoje doutora e titular da PUC do Paraná) relata a influência muito positiva dos livros de Sangiorgi no seu aprendizado, no seu desempenho na sala de aula e a sua reação, bem como a de seus alunos, perante a adoção dos livros de Matemática Moderna do mesmo autor.

O Capítulo 6, escrito por Viviane da Siliva e Wagner Rodrigues Valente, descreve a desilusão face à Matemática Moderna que começou ganhar vulto, no Brasil e em outros países, na segunda metade dos anos 70. Estão transcritos vários trechos do livro O Fracasso da Matemática Moderna de Morris Kline, “referência internacional para as críticas ao ensino da Matemática Moderna” (p.146). Concentra-se, a seguir, na leitura que Sangiorgi fez dessas críticas e, apoiado em documentos por ele escritos a partir de 1976, mostra sua inabalável fé nos benefícios do movimento que ele iniciou e liderou aqui no Brasil.

O livro termina com cerca de 80 páginas contendo uma lista dos 1600 itens que constituem o APOS (Arquivo Pessoal Osvaldo Sangiorgi), material esse que está à disposição dos interessados no GHEMAT, em seu Centro de Documentação.

Em poucas palavras, “OSVALDO SANGIORGI – Um Professor Moderno” é um belo livro do ponto de vista humano, bem como um precioso registro do Movimento da Matemática Moderna no Brasil.

Renate Watanabe – Professora titular do Centro de Ciências e Humanidades da Universidade Presbiteriana Mackenzie. E-mail: watanabe@if.usp.br

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Tags: Annablume (E), Biografia, Bolema (Bo), CNPq (E), GHEMAT (E), História do Ensino de Matemática, Movimento da Matemática Moderna, Osvaldo Sangiorgi, Osvaldo Sangiorgi – um professor moderno (T), VALENTE WR (Org), WANATABE Renate (Res)

Aleijadinho e o aeroplano: o paraíso barroco e a construção do herói nacional – GRAMMONT (Bo)

1 de janeiro de 2009

GRAMMONT, G. Aleijadinho e o aeroplano: o paraíso barroco e a construção do herói nacional. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 2008. Resenha de: GARNICA, Antonio Vincente Marafioti. Da Historiografia: campos, mitos, biografias. Bolema, Rio Claro, n. 34, p. 283-294, 2009.

“Toda vida narrada, biográfica ou auto-biográfica, é sempre habitada por uma dupla tentação: transformar os acasos e imprevistos de uma existência numa implacável necessidade; sustentar, com irredutível singularidade, o que foi um destino fragmentário.” (Roger Chartier)

“It ain’t necessarily so

It ain’t necessarily so

De things dat yo’ liable to read in de Bible

It ain’t necessarily so

/…/

Dey tell all you chillun de debble’s a villain But ‘taint necessarily so.”

(Gershwin)

Na apresentação ao recente livro de Guiomar de Grammont – sua tese de doutorado em Literatura Brasileira defendida na Universidade de São Paulo em 2002 – Roger Chartier sensatamente avalia o trabalho como uma demonstração de que “é possível escrever a história sem ficar prisioneiro de fórmulas herdadas”. O tema, bem como o esboço de cada um dos cinco capítulos, vem explicitado na Introdução da autora: “Esta não é a história de um personagem. É a história de uma imagem que se desdobra em outra e outra”. Trata-se, portanto, não de apresentar Antônio Francisco Lisboa, o Aleijadinho, e suas obras, mas de descortinar a trajetória que alçou o personagem à condição emblemática de mito, herói nacional, genial expressão do espírito barroco. Os mitos e heróis são predestinados a serem e fazerem aquilo que se deseja que sejam e façam, sendo suas existências atestadas, grande parte das vezes, à revelia de documentação que as sustente. Uma vasta busca em arquivos e uma cautelosa análise das referências bibliográficas fundadoras da mitificação permite à autora afirmar que a história do Aleijadinho (e de sua obra), “reconstituída, na medida do possível, apenas a partir dos dados que se encontram nos documentos, resulta prosaica e comum, muito menos espetacular do que se supunha. Como costuma ser, aliás, a maior parte das vidas humanas.” O tom configurador desse mito barroco é inaugurado pelo texto de Rodrigo José Ferreira Bretas1, obra meticulosamente analisada pela autora.

Fundado em 1838 e tendo como patrono o imperador Pedro II, o Instituto Histórico e Geográfico Brasileiro (IHGB) esforça-se para iniciar uma historiografia nacional, da qual necessariamente faria parte o resgate de personagens, localidades e eventos que, em seu conjunto, definiriam “a” identidade nacional. O IHGB, com a intenção enunciada de apropriar-se do passado como fonte de experiência que visasse a uma sustentação para o futuro da Nação, praticava uma história teleológica, não só “conferindo ao historiador um papel central na condução desse fim último, que seria o patriotismo, o amor pelas instituições monárquicas e o sentimento religioso” como também, nas palavras de Lilia Schwarcz, “nas mãos de uma forte oligarquia local, associada a um monarca ilustrado, o IHGB se autorepresentará, nos certames internos e externos, enquanto uma fala oficial em meio a outros discursos apenas parciais”. Nesse cenário não é estranha a criação de um prêmio, em 1842, aos melhores trabalhos estatísticos e históricos sobre as províncias brasileiras. Particularmente interessantes seriam as notas biográficas sobre nossas “celebridades”, das quais surgiria um panteon de heróis nacionais. Tendo ou não sido escrita com a intenção específica de permitir a Bretas o ingresso no IHGB, o certo é que a obra sobre o Aleijadinho abre a ele as portas do Instituto, do qual passa a fazer parte como sócio-correspondente.

A obra de Bretas cria o Aleijadinho e torna-se não um texto a ser lido segundo a perspectiva da ficção – como são os retratos biográficos encomiásticos – mas como uma síntese documental encorpada com fontes orais e, portanto, a descrição de um conjunto de “fatos reais”. E “o retrato realizado por Bretas não apenas servirá à invenção romântica do artista como monstruoso gênio que a doença teria tornado taciturno e solitário, mas também provocará leituras da obra do monstro como retrato expressivo da sua personalidade atormentada. /…/ Na urgência de destacar um personagem da massa anônima dos artesãos coloniais, já não se sabe quem é autor, quem é obra”. O Aleijadinho de Bretas carrega a pesada cruz dos heróis, cujos destinos são sempre acompanhados de provação e dor. O sofrimento é condição essencial para que os consumidores de mitos reconheçam, nesses heróis, sua própria finitude e com eles sejam solidários, tornando-se co-criadores e perpetuadores dos heróis, apropriando-se inclusive de sua redenção e vitória sobre o mal. “Em Bretas”, afirma a autora, “já se inicia a associação entre o artista sofrido, martirizado (como Cristo, naturalmente) e a idéia, germinal, de nação. Aleijadinho e a nacionalidade brasileira nascem juntos na mesma manjedoura, ou seja, envoltos pela força da Igreja, força que atravessou, incólume, um século XIX de transição para a República, marcado por conflitos sangrentos, mas setorizados. Aleijadinho chega quase a tornar-se um mártir a serviço da pátria: ‘jazeu por quase dois anos, tendo um dos lados horrivelmente chagado, aquele que por suas obras de artista distinto tanto havia honrado a sua pátria!´.”

Embora a documentação existente não dê garantias sobre a paternidade do Aleijadinho, Bretas a atribui a Manuel Francisco Lisboa, artesão branco e relativamente reverenciado nas Minas dos Oitocentos: “Na sociedade rigidamente hierarquizada de então, o ‘homem bom’ é aquele que tem um bom nascimento. O filho de um homem sábio e honrado será necessariamente sábio e respeitado2. Além disso, note-se que, ao fazê-lo, Bretas dá a seu personagem uma origem branca, que o dignifica, mesmo no século XIX, quando, supõe-se, essas clivagens raciais fossem um pouco mais tênues do que no século anterior”.

Também os viajantes, interessados em explorar a exótica terra brasilis e descrevê-la a seus conterrâneos, criam uma imagem da arte mineira e, por conseguinte, operam no sentido de atribuir uma identidade ao Brasil frente ao mundo civilizado que representam. Essa visão estrangeira será por vezes negada e por vezes servirá de fundamentação aos modernistas, nas primeiras décadas do século XX, ainda que sustentando discursos em sentidos distintos: “No discurso dos viajantes do século XIX, como Saint-Hilaire, Burton, Eschwege e outros, observamos sempre a comparação implícita com manifestações artísticas e monumentos europeus, para fornecer imagens verossímeis, que possam aproximar mais da visão de seus leitores aquilo que descrevem. A comparação, contudo, sempre é efetuada segundo um padrão de inferioridade da colônia americana em relação à Europa /…/. No discurso modernista, o movimento é contrário: a ordem é revalorizar a arte local para integrá-la no vasto programa de ‘redescoberta’ das raízes da arte brasileira, enfatizando aspectos como a miscigenação racial e cultural, projeto no qual foi integrado o mito do Aleijadinho. O que chamamos de ‘redescoberta’, contudo, em nossa perspectiva, significou, efetivamente, a invenção de um país que é o Brasil modernista, baseado na invenção das raízes culturais. O barroco teria um papel fundamental na constituição dessas ‘raízes’.”

Para o viajante estrangeiro, as artesanias nacionais sempre foram arremedos da alta arte praticada nos países “centrais” dos quais provinham; interessava-lhes mais a fauna e a flora exóticas e as possibilidades que elas abriam ao desenvolvimento das ciências européias. Os relatos dos viajantes, entretanto, convém notar – como ressalta a própria autora – “costumam ser utilizados como fontes históricas ‘primárias’, capazes de fornecer informações de ‘primeira mão’ sobre os acontecimentos. Raramente essas obras são analisadas como ficção literária em si mesmas /…/. Não são apenas ‘fontes históricas’, mas fontes privilegiadas, em acordo com o pressuposto positivista de que a distância conferiria certa ‘imparcialidade’ ao olhar.” O modernismo, ao contrário, tenderá a valorizar as produções nacionais, ávido por repensar nossa identidade. O projeto de constituição dessa identidade, entretanto, afasta-se daquele anteriormente praticado pelo IHGB que era, ao mesmo tempo, uma continuidade da tradição ilustrada já iniciada no século XVIII e uma alteração quanto aos seus objetivos: no século XIX, o IHGB “tinha o objetivo completamente novo de produzir uma reflexão sistemática sobre os problemas da nação e do Estado emergentes, como um projeto civilizatório de uma elite, uma vez que /…/ a maior parte de seus membros pertencia aos aparelhos burocráticos e administrativos da hierarquia dominante no Império.” Apostando na construção da idéia de Nação num momento em que a escravidão ainda existia e parametrizado por uma visão de História apoiada na noção de progresso, não caberia identificar a cultura nacional a uma arte produzida por mulatos e indivíduos situados em escalas sociais inferiores (daí a necessidade, em Bretas, de “clarear” Antônio Francisco Lisboa e aproximá-lo da casta mais nobre, atribuindo-lhe um pai branco e até certo ponto endinheirado). Os “mitógrafos do império” tenderão, de forma mais ou menos clara, mais ou menos explícita, a desvalorizar a arte barroca ou jesuítica. No Modernismo, ao contrário, a intenção de repensar a identidade nacional não teme a aproximação com a discussão sobre a identidade racial: torna-se visceral a idéia da pluralidade étnica e, conseqüentemente, passam a ser valorizadas as contribuições dadas pela mistura de raças diferentes, ainda que as relações entre o Modernismo (leia-se Mário de Andrade) e o Estado Novo (leia-se Gustavo Capanema) não tenham sido totalmente cordiais principalmente devido ao desacordo quanto a essa questão das etnias raciais3. Do modernismo surge o Aleijadinho mulato genial, representante de uma artesania emblemática que simbolizaria a riqueza e a originalidade da arte brasileira, expressão mesmo da “alma nacional”.

Se os três primeiros capítulos do livro de Guiomar de Grammont voltam-se mais à biografia (lacunar) e à constituição do mito do artista genial a partir dessas caracterizações biográficas e interesses diversos, o capítulo quarto inicia uma discussão mais pormenorizada sobre a produção do Aleijadinho que, se já havia sido evocada nos capítulos anteriores – dada a vinculação sempre estabelecida entre autor e obra – começa então a ser tratada com mais detalhamento. O pressuposto da autora, enunciado já no primeiro parágrafo do capítulo, é o de que técnicos e historiadores da arte, via-de regra, operam “sem questionar a historicidade das categorias nas quais se baseiam para construir seus objetos. Fundamentando-se em pressupostos como ‘estilo’, ‘autoria’, ‘diretos autorais’ etc., os críticos costumam analisar obras de tempos e lugares diferentes do seu, aplicando, anacronicamente, categorias de análise contemporâneas.”

A noção de autoria – cujas origens Foucault supõe radicadas no final do século XVIII e início do século XX e que Chartier, preenchendo as lacunas cronológicas deixadas por Foucault, fixa no começo do século XVIII – pressupõe a construção de um autor que, de alguma forma, teria a prerrogativa de propriedade em relação a sua obra. Ainda que atualmente a idéia de autoria – em vários campos, mas principalmente no da arte, onde autoria está diretamente vinculada à questão financeira – nos seja usual, ela só é consolidada no século XVIII, embora tenha começado a desenhar-se na idade média (“com o revivescimento das cidades [e] a conseqüente formação das corporações de ofícios”) e fortalecida durante o Renascimento. Certamente a autoria encontra ressonância e tem sua importância maximizada num mundo que transforma tudo em mercadoria. Os ateliers mineiros do século XVIII, entretanto, funcionavam como uma coletividade produtora de obras cuja execução era “arrematada” em leilões pelos mestres desses núcleos que congregavam os mais distintos artesãos. Dessa feita, os mestres coloniais seriam bons negociantes, mas não necessariamente os artistas mais hábeis de sua corporação. Sem ater-se a esses “pormenores”, a atribuição de obras ao Aleijadinho passou a ser feita a partir de um suposto “estilo próprio”, categoria bastante interessante ao ideal onipresente de destacar, dentre a multidão de artífices mineiros, os criadores originais e, dentre eles, o genial criador dentre os criadores. Do estilo Aleijadinho, segundo os críticos, destacam-se, “além dos polegares na mesma posição dos outros dedos, /…/ os olhos amendoados, o furo no queixo, o nariz afilado com as ventas bem marcadas, as maçãs salientes do rosto; os bigodes e a barba bem delineados, apontando para baixo, barba partida no queixo /…/ etc.” O estilo é a norma a partir da qual todo o resto é definido como mesmice e vulgaridade. A discussão sobre os parâmetros que dariam conta da autenticidade da obra, assentados em princípios anacrônicos, despreza tanto as lacunas documentais relativas às obras quanto despreza as condições reais de produção à época: “em um tempo em que a locomoção de uma cidade a outra não era nada fácil, Aleijadinho teria trabalhado em cerca de trinta igrejas em diversas cidades de Minas, e realizado um número incalculável de pequenas imagens, oratórios, castiçais etc. Quantos artífices anônimos não se ocultam sob a sombra desse mito?”.

Junto aos critérios de autoria e estilo surge, para os historiadores da arte, a difícil questão da originalidade. Estudos sobre Manoel da Costa Ataíde mostram claramente que a originalidade não era um critério a nortear os trabalhos dos artífices coloniais. Há evidências eloqüentes quanto à existência de modelos prévios, gravuras e desenhos comercializados e/ou disponíveis em bíblias e outras obras. A originalidade do Aleijadinho – defendida chamando à cena seu autodidatismo, suas limitações físicas, a enorme produção em um período de tempo tão exíguo – sempre foi uma prova de sua genialidade. Há que se considerar, entretanto, que não há prática – artística ou qualquer que seja – genuinamente autóctone, e as evidências face às cópias e emulações naturais à artesania colonial levaram a uma redefinição no conceito de originalidade de modo a perpetuar mitos de genialidade artística: aos originais, o artista genuinamente genial agrega características próprias, que definem a arte nacional frente aos modelos importados. As igrejas de Aleijadinho, por exemplo, seriam “borromínicas”, mas sua apropriação do estilo seria nova e consistiria em algo totalmente diferenciado.

“Em sua definição contemporânea” – afirma Chartier logo na apresentação do livro – “a obra [de arte] supõe a originalidade da expressão, fortes relações entre as experiências do artista e suas criações e a inalterável propriedade do criador sobre os produtos de sua imaginação. É sobre tais categorias que, a partir do século XIX, foram escritas as histórias da literatura, da pintura e da escultura”. Aplicadas anacronicamente à produção artística de um escultor (ou de vários escultores) mineiro do século XVIII, esses postulados vão se conformando para sustentar a genialidade de um personagem intencionalmente constituído para louvar a nação e provê-la com uma identidade. Na confluência desses fatores tantos surge um Aleijadinho inventado a partir de documentos que, ao mesmo tempo, servem para diferentes fins, “na medida em que se imponha a eles a interpretação desejada”. Constrói-se, pois, o Aleijadinho, e tal construção – alerta Chartier – atua como um silogismo: “Aleijadinho é o escultor barroco por excelência; o barroco é a expressão mais completa da identidade brasileira; portanto, o barroco é a nação brasileira em sua essência e Aleijadinho seu profeta, reconhecido como tal pelo Estado e suas instituições. Guiomar de Grammont retira (como se diz em relação à restauração de um quadro) as diferentes camadas de verniz depositadas sobre o traço histórico do Aleijadinho”.

O que justifica, entretanto, uma resenha deste trabalho, elaborado em searas aparentemente tão distantes, num Boletim de Educação Matemática?

A aproximação de outros campos de produção cultural e acadêmica – temos defendido – é vital para repensarmos nossas próprias práticas e, num processo de apropriação criativa, dão novo fôlego e permitem a configuração de novos rumos às nossas investigações. Assim, alguns elementos claramente perceptíveis no livro de Grammont podem, sim, servir de guia principalmente aos que atualmente exercitam-se na interface entre História, Matemática e Educação Matemática.

Como primeira contribuição, aponta-se a clareza com que a autora – e o prefácio de João Adolfo Hansen, orientador da pesquisa que originou o livro – explicita a posição do IHGB que, como sabemos, é uma das matrizes – se não a matriz – da historiografia nacional e, especificamente, da historiografia da Educação. Não parece ser vão entender os mecanismos de favores e interesses que sustentavam o projeto historiográfico elitista e teleológico do Instituto, afinando-o como um aparelho ideológico cuja função precípua era inventar a nacionalidade de modo a propagar os valores imperiais. São, essas, algumas das raízes do nosso modo de conceber e produzir História, e aliar-se ou afastar-se dessas intenções talvez seja uma opção mais adequadamente feita ao se analisar versões sobre suas “origens”. Note-se, entretanto, que nem todas essas versões sobre o IHGB são tão radicais. A reportagem “Os inventores do Brasil”, de Lorenzo Aldé, publicado na Revista de História da Biblioteca Nacional em comemoração ao aniversário de 170 anos do IHGB, relativiza a situação do Instituto e seus sócios em relação à tutela do Império: “D. Pedro II foi assíduo freqüentador dos debates. O fato de ter o imperador como patrono e mecenas costuma render à instituição o rótulo de ‘chapa branca’. Embora não haja dúvidas sobre o monarquismo do IHGB no século XIX, essa impressão soa anacrônica, segundo Lúcia Guimarães: ‘Era um espaço de contraposição de interpretações. As idéias eram debatidas, não impostas. A versão sobre a independência que se consolidou nos livros didáticos tinha opositores no Instituto. Varnhagen combatia a idéia de que o episódio tinha sido fruto da vontade de José Bonifácio, D. Pedro I e do povo’ /…/. Ou seja, a idéia de ´chapa branca´ faz sentido atualmente, mas não é adequada para se pensar um tempo em que os contornos do Brasil mal existiam. Literalmente falando. Em 1841, convocado ao Parlamento para expor informações sobre os limites do país, o Ministro dos Negócios Estrangeiros, Aureliano de Souza Coutinho, teve que confessar que…não sabia. Quando D. João voltou para Portugal, em 1821, levou com ele os mapas originais.”

Nas práticas do IHGB ficam claras as intenções quanto à construção de um panteon nacional de heróis a partir de biografias. O fascínio pelas biografias, entre alguns, perdura até hoje, e por vezes a elaboração de descrições de personagens e situações “como realmente ocorreram” confunde-se com a própria função da historiografia. Dos livros didáticos (inclusive dos de Matemática) provêm grandes contribuições para a divulgação dessa concepção distorcida de história. A “ilusão biográfica”, expressão cunhada por Bourdieu, nos dá “a ilusória unidade de uma identidade específica, aparentemente sem contradições, mas que não passa de uma máscara sob a qual se oculta uma miríade de fragmentos e versões. A utopia biográfica”, continua Grammont, “é a ilusão de que a narrativa pode reconstituir autenticamente um destino”. Esforços contemporâneos, portanto, têm a intenção de “desnudar essa utopia, de desconstruir – a contrapelo – uma história tornada verdade pela repetição e por sua adequação aos diversos interesses de momentos específicos da historiografia brasileira”. O desnudamento da utopia, porém, implica trazê-la à cena: por que as verdades fabricadas deveriam ser rechaçadas, postas à margem do histórico? Não somos também as verdades que nos impomos e segundo as quais pretendemos ou quereríamos viver? Qual o problema em aceitar o relato de uma vida que se faz relato exatamente para que o passado seja purgado, para que o presente seja mais aceitável? Tal relato não nos diz tanto quanto o relato que o nega? E ainda que alguma checagem fosse feita, ainda que alguma divergência nos surgisse no processo mesmo sem checagem alguma, não seria mais produtivo indagar-se por que essa divergência? O que ela nos ensina sobre o sujeito, sobre suas verdades, sobre seu tempo e seu modo de constituição do mundo? Recentemente numa revista nacional de grande circulação debatia-se, na seção de cartas dos leitores, sobre a autoria da conhecida frase “O Brasil não é um país sério”. Foi Charles De Gaulle, afirmam alguns. Foi Celso Vieira, embaixador brasileiro na França, rebatem outros. Foi um assessor de De Gaulle? Foi Carlos Alves de Souza, embaixador em Paris? Perguntaríamos: o que faz com que o eco dessa frase ressoe tão significativamente até hoje? Por que esse fascínio com uma autoria? O que esse fascínio nos revelaria? Que percepção de país a frase nos permite vislumbrar? Na História da Matemática, Gauss realmente determinou com presteza, quando ainda criança, a soma dos cem primeiros naturais? Como saber? Como garantir a isenção dos biógrafos de Gauss? Por que essas perguntas afetam de modo tão inclemente os historiadores da Matemática? Não seria mais operativo perguntar-se que tipo de concepção essa afirmação – e sua trajetória pelos tempos – desvela? Qual Gauss esse registro permite construir? Qual Gauss esse registro quer construir? Obviamente, na esteira de uma história-problema, não se negam as questões: afirma-se a necessidade de analisá-las sob diferentes perspectivas.

Ademais, a criação de mitos e heróis para defender posições e construir verdades “compartilhadas” não é nova, não foi inventada pelo IHGB, nem termina com o Império.

Joaquim José da Silva Xavier – apelidado Tiradentes pela habilidade em arrancar dentes sem ter formação específica para isso – é um dos maiores heróis nacionais, tido como mártir do movimento que levou o Brasil à independência de Portugal. Tiradentes foi enforcado no Rio de Janeiro em 21 de abril de 1792. Tanto sua biografia quanto os traços de seu caráter são incertos, vagamente registrados: de Tiradentes não conhecemos um esboço fisionômico confiável, nem podemos decidir se foi um consistente revolucionário ou apenas uma personagem útil às causas da República implantada no país em 1889. Dentre tantos revolucionários de biografia mais documentada, com configuração de caráter e fisionomias menos lacunares, foi Tiradentes o escolhido a representar o sucesso da causa republicana: tão logo proclamada a República, já o dia 21 de Abril de 1890 foi feriado. O regime militar, em 1965, declarou Tiradentes “Patrono da Nação Brasileira”.

Os espaços em branco no registro de sua trajetória permitiam que ele fosse visto por uns como o defensor dos valores que os militares pretendiam representar e, por outros, como um revolucionário contrário aos valores defendidos pelos militares. Sobretudo, agradava à população a fusão de dois aspectos – o Tiradentes herói defensor da Pátria e o Tiradentes ícone religioso que, como um quase-Cristo protagonizou uma paixão, percorrendo seu calvário. Mas, principalmente – e este é o traço que pretendemos realçar – Tiradentes havia nascido no estado de Minas Gerais. Ao contrário de outros estados brasileiros onde viveram grandes revolucionários, defensores das causas da Pátria, Minas Gerais constituiria, já em meados do século XIX, com os Estados de São Paulo e Rio de Janeiro, o centro político do país.

IHGB, Modernismo, Império, República, Tiradentes, Aleijadinho… em tantas alterações, quantas permanências. Face a essas observações, mantemos (e defendemos como legítima) a posição de que se escreve história a partir da detecção e análise dos mecanismos – ora contrários, ora complementares – que sustentam alterações e permanências, de que é possível escapar à sina de escrever História a partir de estratégias consagradas – muitas vezes pelo senso comum –, apostando na história-problema, querendo com isso significar que “a história não deveria ser propriamente vista como uma ciência do passado, mas como uma disciplina que procuraria estabelecer um ‘diálogo do presente com o passado, e no qual o presente tomaria e conservaria a iniciativa’”, como aponta Miguel. Essa não é, definitivamente, uma posição hegemônica dentre aqueles que, em Educação Matemática, se inscrevem na região cujas preocupações orbitam no binômio História – Educação Matemática. Dentre as tantas justificativas possíveis, essa talvez seja a que mais eloqüentemente indique a pertinência da leitura, entre nós, educadores matemáticos, do livro de Guiomar de Grammont.

Notas:

1 Traços biográficos relativos ao finado Antônio Francisco Lisboa (o Aleijadinho), publicado no Correio Oficial de Minas em 1858.

2 Segundo a autora, o postulado de que os filhos se assemelham a seus pais está radicado na noção de genus, da retórica de Quintiliano que Bretas – especialista em retórica – certamente conhecia.

3 Segundo Guiomar de Grammont, o projeto do governo Vargas propunha a erradicação das raças, ao contrário do Modernismo que defendia a integração e louvava a miscigenação: “Houve, então, um prepotente esforço do governo nacionalista de criar as bases de um novo conceito de nacionalidade por meio da educação, da cultura e de versões oficiais da história, visando, pela unificação da língua e padronização do ensino, à ‘erradicação das minorias étnicas, lingüísticas e culturais’ em todos os níveis.”

Referências

ALDE, L. Os inventores do Brasil. Revista de História da Biblioteca Nacional. Ano 4, n. 39. Rio de Janeiro: Sociedade de Amigos da Biblioteca Nacional, pp. 56-61. Dez./ 2008.

CARVALHO, J. M. de. A Formação das Almas: o imaginário da república no Brasil. São Paulo: Companhia das Letras, 1990.

GRAMMONT, G. Aleijadinho e o aeroplano: o paraíso barroco e a construção do herói nacional. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 2008.

HORTA, J.S.B. O hino, o sermão e a ordem do dia: a educação no Brasil (1930-1945). Rio de Janeiro: Editora da UFRJ, 1994.

NEMER, J.A. A mão devota: santeiros populares das Minas Gerais nos séculos 18 e 19. Rio de Janeiro: Editora Bem-Te-Vi, 2008.

VIDAL, D.G., A escrita da História da Educação e seus múltiplos olhares In: SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.PACHECO, n. 7, 2007, Guarapuava. Anais… Guarapuava: SBHMat, 2007. p. 97-108.

Antonio Vicente Marafioti Garnica.

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Tags: Aleijadinho e o aeroplano: o paraíso barroco e a construção do herói nacional (T), Antônio Francisco Lisboa – o Aleijadinho, Artistas, Barroco, Biografia, Bolema (Bo), Civilização Brasileira (E), GARNICA Antonio Vicente Marafioti (Res), GRAMMONT G (Aut), Heróis nacionais, Historiografia brasileira, Instituto Histórico e Geográfico Brasileiro | IHGB, Literatura brasileira, Mitos

História da Matemática

1 de janeiro de 2001

Revista Brasileira de Historia da Matematica Hipátia

A Revista Brasileira de História da Matemática (2001-) é um boletim científico, de caráter internacional, onde serão aceitos para publicação somente trabalhos acadêmicos originais sobre História da Matemática em geral e sobre sua relações com outros campos como a Educação Matemática e a Filosofia da Matemática.

Revista é semestral Sendo o primeiro número publicado em Julho, o segundo número em dezembro.

Esta revista oferece acesso aberto e livre imediato ao seu conteúdo, seguindo o princípio de que disponibilizar gratuitamente o conhecimento científico ao público proporciona maior democratização mundial do conhecimento sob uma Licença Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0). A Revista também não cobra taxas dos autores para submissão nem publicação (APCs).

ISSN 1519-955X (Impresso)

ISSN 2675-7079 (Online)

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Tags: Atualiza no mês 01, Atualiza no mês 07, Revista Brasileira de História da Matemática (RBHMd), Revista Brasileira de História Matemática (RBHM)

BOLEMA – Boletim de Educação Matemática | Rio Claro, v.26, n.42A, abr. 2012 / v.35, n.69, jan./abr. 2021. (S)

2 de janeiro de 1985

Bolema. Rio Claro, v.35, n.69, jan./abr. 2021.

Nominata

Consultores Ad hoc – 2020 | texto em Espanhol Espanhol

Editorial

Memória de minhas relações com Paulo Freire | texto em Espanhol Espanhol

Artigo

Um Estudo sobre o Feedback Formativo na Avaliação em Matemática e sua Conexão com a Atribuição de Notas | Vaz, Rafael Filipe Novôa; Nasser, Lilian | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Sobre Aprender Matemática com a Arte, ou Matemática e Arte e Visualidade em Experiência na Escola | Flores, Cláudia Regina; Kerscher, Mônica Maria | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Situações que Originam Emoções em Estudantes de Matemáticas | García-González, María S.; Ramírez-Gómez, Brenda; Navarro-Sandoval, Catalina | resumo em Português | Espanhol texto em Espanhol Espanhol
Invenções robóticas para o Tratamento de Parkinson: pensamento computacional e formação matemática | Azevedo, Greiton Toledo de; Maltempi, Marcus Vinicius | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Orientation and Peer Assessment: Two key aspects for the evolution of the problem-solving process | Torregrosa, Alba; Albarracín, Lluís; Deulofeu, Jordi | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Importância da Explicitação da Correspondência Um para Muitos na Resolução de Problemas de Estrutura Multiplicativa | Spinillo, Alina Galvão; Lautert, Síntria Labres; Santos, Ernani Martins dos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Adoção da Modelagem Matemática: o que se mostra na literatura produzida no âmbito da Educação Matemática | Mutti, Gabriele de Sousa Lins; Klüber, Tiago Emanuel | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Processos de Raciocínio Matemático Mobilizados por Estudantes de Cálculo em Tarefas Envolvendo Representações Gráficas | Trevisan, André Luis; Araman, Eliane Maria de Oliveira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Criterios Epistémicos para el Diseño de Tareas sobre Límite de una función en una variable Real | Bastias, Daniela Araya; Pino-Fan, Luis R.; Medrano, Iván G.; Castro, Walter F. | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
O impacto da instrução de pares no conhecimento de trigonometria em alunos da nona série | Nuri, Balta; Serkan, Kaymak; Abdullah, Almas; Omarbek, Nurbavliyev | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Definições e Critérios para o Uso de Textos Originais na Articulação entre História e Ensino de Matemática | Silva, Isabelle Coelho da; Pereira, Ana Carolina Costa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Maria do Carmo Vila e a Educação Matemática em Minas Gerais (1970-1995) | Melillo, Kelly Maria de Campos Fornero Abreu de Lima; Gomes, Maria Laura Magalhães | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
The Role of the Teaching and Observation Phases in the Lesson Study Methodology | Breda, Adriana; Hummes, Viviane; Silva, Rodrigo Sychocki da; Sánchez, Alicia | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Contribution of the Hermeneutic Circle of Understanding to Development of Ethical Interpretation in Mathematics Classroom | Quintanilla, Verónica A.; Gallardo, Jesús | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Práticas de Ensino Exploratório de Matemática e a Mobilização/Desenvolvimento do Conhecimento Matemático para o Ensino por Participantes do PIBID | Marins, Alessandra Senes; Teixeira, Bruno Rodrigo; Savioli, Angela Marta Pereira das Dores | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Os Desafios da Abordagem Exploratória no Ensino da Matemática: aprendizagens de duas futuras professoras através do estudo de aula | Martins, Micaela; Mata-Pereira, Joana; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Teaching models of alligation problems in the Spanish school encyclopedias | Santágueda-Villanueva, María; Gómez, Bernardo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Statistical and probabilistic education in Early Childhood textbooks | Cuida, Astrid; Espina, Estefanía; Alsina, Àngel; Novo, María Luisa | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Deficiência Visual e a Baixa Visão: estado da arte das pesquisas acadêmicas em Educação Matemática | Mendes, Rosana Maria; Gomes, Adrielly Antonia Santos; Caporale, Silvia Maria Medeiros | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Didactic Resources and Contexts Used by Future Mathematics Teachers | Castro, Walter F.; Velásquez-Echavarría, Hilduara; López-Sora, Juan | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O controle na resolução de problemas matemáticos: uma experiência na formação de professores | Gonçalves, Paulo Gonçalo Farias; Núñez, Isauro Beltrán | resumo em Português | Espanhol texto em Português Português
O software IRAMUTEQ e a Análise de Narrativas (Auto)biográficas no Campo da Educação Matemática | Tinti, Douglas da Silva; Barbosa, Geovane Carlos; Lopes, Celi Espasandin | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um livro sob medida como instrumento do ensino de aritmética na escola primária | Pinheiro, Nara Vilma Lima | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Concepções de Gestores sobre a Satisfação com o Curso e a Adaptação à Universidade de Estudantes de Matemática | Sousa, Bruno de Alcântara; Soares, Adriana Benevides | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Inter-relações entre Domínios Matemáticos: a integração do NAG em um modelo praxeológico alternativo | Farias, Luiz Marcio Santos; Bittencourt, Vinicius Souza; Carvalho, Edmo Fernandes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.34, n.68, set./dez. 2020.

Editorial

Un año de incertidumbres para la Educación Matemática | | texto em Espanhol Espanhol

Artigo

O Processo de Matematização como Ações Orientadas ao Objeto de um Sistema Atividade de Modelagem | Araújo, Jussara de Loiola; Lima, Fernando Henrique de | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Participação em Comunidades Sociais e a Prática Pedagógica com Modelagem Matemática: algumas relações | Braz, Bárbara Cândido; Kato, Lilian Akemi | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Formação do Conceito de Quantidade: concepções de professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental | Ferreira, Valdivina Alves | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
| Meaning of derivative in the book tasks of 1st of “Bachillerato” | Vargas, María Fernanda; Fernández-Plaza, José Antonio; Ruiz-Hidalgo, Juan Francisco | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
É assim que eu faço! Proporcionalidade e Invenção em uma Aula de Matemática | Oliveira, Marta Elaine de; Clareto, Sônia Maria | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Conceito de Constante na Representação Gráfica: uma análise das projeções de preço de ações realizadas por estudantes de Engenharia | Hofmann, Ruth M. | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Formation of mathematical concepts by the intellectually disabled by means of soroban | Mamcasz-Viginheski, Lucia Virginia; Silva, Sani de Carvalho Rutz da; Shimazaki, Elsa Midori; Cassandre, Marcio Pascoal | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
“The sides of a polygon do not intersect” … Delving into the voice of the students | Camargo, Leonor; Perry, Patricia | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Procedures Used by Students Aged 13-14 in the Resolution of Tasks Involving the Flat-Figure Area | Caviedes, Sofía; Gamboa, Genaro de; Badillo, Edelmira | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Diálogo em Educação Matemática e suas Múltiplas Interpretações | Milani, Raquel | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Aprendizagem Docente e Desenvolvimento de Estratégias Metodológicas no Contexto do PIBID: reflexões sobre o GeoGebra como recurso para o ensino de funções | Gonçalves, Bruna Maria Vieira; Lima, Francisco José de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O trabalho de campo na/para/com Etnomatemática como possibilidade de uma pesquisa afecção: potências do devir | Gondim, Diego de Matos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Disciplina de Matemática na Escola Técnica Nacional (1942-1965) | Maciel, Paulo Roberto Castor | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Teaching modes in mathematical instructional videos: balance between specific effectiveness and educational utility | Soto, Claudia Margarita Acuña; Liern, Vicente | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Interface entre Arte e Matemática: em busca de perspectivas curriculares críticas e criativas | Santos, Edvan Ferreira dos; Gonçalves, Harryson Júnio Lessa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Beliefs and anxiety towards mathematics: a comparative study between teachers of Colombia and Spain | Fernández-Cézar, Raquel; Hernández-Suárez, César Augusto; Prada-Núñez, Raúl; Ramírez-Leal, Pastor | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Aprendizagem Baseada em Problemas na Perseverança da Aprendizagem de Estudantes Indonésios do Ensino Médio na Resolução de Problemas Matemáticos | Prastiti, Tri Dyah | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Colombian Community of Mathematics Education: a documentary characterization | Castro, Paola; Gómez, Pedro; Carranza, Sileni-Marcela; Cañadas, María C. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O Papel dos Ostensivos na Representação de Variáveis Estatísticas Qualitativas | Cazorla, Irene Mauricio; Henriques, Afonso; Santana, Cláudio Vitor | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Interpretations of the Equal Sign in an Algebraic Polynomial Context | Parodi, Sebastián; Ochoviet, Cristina; Lezama, Javier | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Collaboration among Statistics Teachers and Researchers: Contributions to Professional Development | Zapata-Cardona, Lucía | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Um Olhar Habermasiano sobre o Silenciamento da Formação para Avaliar nas Diretrizes Curriculares Nacionais das Licenciaturas em Matemática | Postingue, Thais Paschoal; Peralta, Deise Aparecida | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Correlatos Cognitivos na Aprendizagem da Matemática: uma revisão da literatura | Souza, Carine Franco de; Matias, Neyfsom Carlos Fernandes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Convergências e Complementaridades entre as Teorias dos Três Mundos da Matemática e a da Sociointeratividade | Flores, Jeronimo Becker; Lima, Valderez Marina do Rosário; Müller, Thaísa Jacintho | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.34, n.67, maio/ago. 2020.

Errata

ERRATA | | texto em Espanhol Espanhol

Editorial

O que será da Educação Matemática depois do Coronavírus? | | texto em Português Português

Artigo

Estruturação Espacial no 1° Ano de Escolaridade: da estruturação local para a estruturação global em figuras 2D | Conceição, Joana; Rodrigues, Margarida | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Promover o Raciocínio Geométrico em Alunos com Perturbação do Espectro do Autismo através de um Ambiente Digital | Santos, Maria Isabel Gomes dos; Breda, Ana Maria Reis d’Azevedo; Almeida, Ana Margarida Pisco | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
História da Análise Matemática e Desenvolvimento Cognitivo | Thomé, Vinícius Weite; Duro, Mariana Lima; Andrade, Carina Loureiro | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Enunciados que Constituem as Docências em Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental | Wanderer, Fernanda; Longo, Fernanda | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Raciocínio Matemático nos Primeiros Anos: ações de duas professoras ao discutir tarefas com seus alunos | Araman, Eliane Maria de Oliveira; Serrazina, Maria de Lurdes; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Aspectos da interpretação de gráficos de estudantes universitários em um ambiente virtual | Andrade, Fabiana Chagas de; Schiller, Carolina Vieira; Silva, Dione Aparecido Ferreira da; Menezes, Larissa Pereira; Silva, Alexandre Sousa da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Mathematical objects linked to statistics and probability in Early Childhood Education: an analysis from textbooks | Vásquez, Claudia; Díaz-Levicoy, Danilo; Arteaga, Pedro | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Constituição da Práxis Docente no contexto da Modelagem Matemática | Forner, Régis; Malheiros, Ana Paula dos Santos | resumo em Português | Espanhol texto em Português Português
A Educação Matemática e a Educação a Distância: uma revisão sistemática da literatura | Prates, Uaiana; Matos, João Filipe | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Score on a mathematics diagnostic assessment and its dependence on affective aspects due to making mistakes | Eccius-Wellmann, Cristina; Ibarra-González, Karla Paulina | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Os Vieses Cognitivos e suas Implicações para Educação Financeira: o caso do “efeito Brumadinho” na construção de gráficos | Hofmann, Ruth M. | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Pre-service Teacher Self-Efficacy in the Use of Technology for Teaching Mathematics | Carmona-Mesa, Jaime Andrés; González-Gómez, Difariney; Villa-Ochoa, Jhony Alexander | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Obstáculos Emergentes da Prática de Ensino com a Investigação Matemática | Wichnoski, Paulo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Algorithms and kinship systems: ethnomathematical approaches in the training of indigenous teachers | Santos, Jorge Alejandro; Bernardi, Lucí dos Santos; Nascimento, Márcia | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Didactical paradoxes observed in the management of Euclid’s theorems | Retamal, Ismenia Guzmán; Pino-Fan, Luis R.; Arredondo, Elizabeth H. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Relação entre Ansiedade Matemática, Memória de Trabalho e Controle Inibitório: uma meta-análise | Figueira, Priscila Virgínia Salles Teixeira; Freitas, Patrícia Martins de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Os Propósitos da Avaliação nas Feiras de Matemática | Scheller, Morgana; Zabel, Marília | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Uma Reflexão de Professores sobre Demonstrações Relativas à Irracionalidade de 2 | Mathias, Carmen Vieira; Doering, Luisa Rodríguez; Ripoll, Cydara Cavedon | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Conversas de Corredores: uma pesquisa narrativa sobre coordenação pedagógica e formação continuada de professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais | Santana, Marcela Lopes de; Gonçalves, Harryson Júnio Lessa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Aprendizagem Baseada em Projetos no Ensino Médio: estudo comparativo entre métodos de ensino | Oliveira, Sebastião Luís de; Siqueira, Adriano Francisco; Romão, Estaner Claro | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Experimental Activities with Technologies in Mathematical Modeling Scenarios | Villarreal, Mónica E.; Mina, María | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Slope Conceptualizations in Mathematics Textbooks | Flores, Crisólogo Dolores; Dolores, Gerardo Ibáñez | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol

Bolema. Rio Claro, v.34, n.66, jan./abr. 2020.

Nominata

Consultores Ad hoc – 2019 | | texto em Português Português

Editorial

Apontamentos para um Estudo sobre a Gênese da pesquisa em Educação Matemática no Brasil: a Especialização em Modelagem Matemática em Guarapuava/PR | | texto em Português Português

Artigo

Mathematics Conceptions by Teachers from an Ethnomathematical Perspective | Albanese, Veronica; Perales, Francisco Javier | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
In-service Secondary Teachers’ Teaching Approaches and Views Towards Integrating Ethnomathematics Approaches into Geometry Teaching | Sunzuma, Gladys; Maharaj, Aneshkumar | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Didactical analysis of a lesson on proportionality of a primary school textbook using tools of the onto-semiotic approach | Burgos, María; Castillo, María José; Beltrán-Pellicer, Pablo; Giacomone, Belén; Godino, Juan D. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Characteristics of the didactic analysis carried out by teachers to justify the improvement of mathematics teaching | Breda, Adriana | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Conhecimento Didático do Professor de Matemática à Luz de um Processo Formativo | Santana, Eurivalda; Ponte, João Pedro da; Serrazina, Maria de Lurdes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Evaluation of the Epistemic Facet of Didactic-Mathematical Knowledge of Future Mathematics Teachers in a Class Development Using Functions | Armas, Tulio Amaya De | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Statistical Graphs in Costa Rica Textbooks for Primary Education | Jiménez-Castro, Maynor; Arteaga, Pedro; Batanero, Carmen | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
É Possível Ensinar Estocástica para Crianças da Educação Infantil? Uma Análise à Luz da Teoria de Bruner | Dias, Cristiane de Fátima Budek; Pereira, Caroline Subirá; Dias, Juliane Budek; dos Santos Junior, Guataçara; Pinheiro, Nilcéia Aparecida Maciel; Miquelin, Awdry Feisser | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Configural Reasoning and Geometric Workspace in the Proof’s Problem Resolution | Prior, Juan Martínez; Torregrosa, Germán Gironés | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Forms of human collaboration between teachers and students during the development of simulators with GeoGebra | Prieto G., Juan Luis; Castillo B., Luis Andrés; Márquez T., Maximina | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Interface Entre a Velocidade de Processamento Cognitivo e o Desempenho Aritmético e Leitor de Alunos do 5° e 7° Anos do Ensino Fundamental | Corso, Luciana Vellinho; Assis, Évelin Fulginiti de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Bases Neurais da Ansiedade Matemática: implicações para o processo de ensino-aprendizagem | Moura-Silva, Marcos Guilherme; Torres Neto, Joâo Bento; Gonçalves, Tadeu Oliver | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Knowledge Quartet: dimensões, pesquisas e reflexões sobre o conhecimento profissional do professor que ensina matemática | Gumiero, Bárbara Silva; Pazuch, Vinícius | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Desenho de um instrumento para valorar a compreensão que apresentam futuros professores de matemática acerca da divisibilidade | Espinoza, Ricardo Fabián; Pochulu, Marcel David | resumo em Português | Espanhol texto em Espanhol Espanhol
What Colors do Undergraduates Associate with Training Courses? Student Evaluations of the Applied Mathematics Educational Program through the Color Selection Method | Kuznetsova, Elena | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Perspectivas de Professores de Matemática sobre o Humor e o seu Valor Educacional | Menezes, Luís; Fernandes, José António; Viseu, Floriano; Ribeiro, António; Flores, Pablo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.33, n.65, set./dez. 2019.

Editorial

A SBEM e a Produção de Conhecimento em Educação Matemática | | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Artigo
Construção do Conhecimento Matemático: natureza, transmissão e gênese | Becker, Fernando | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Meta-análise sobre Conhecimento para Ensinar Divisão de Frações | Moriel Junior, Jeferson Gomes; Wielewski, Gladys Denise; Carrillo, José | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Exploring Slope’s Conceptualizations of University Students | López, Martha Iris Rivera; Beltrán, Gerardo Salgado; Flores, Crisólogo Dolores | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Correlação entre o Raciocínio Lógico e o Raciocínio Matemático em Crianças Escolarizadas | Silva, Simone de Oliveira Andrade; Luna, Sérgio Vasconcelos de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Protagonismo Feminino na Matemática: criação e evolução do Instituto de Matemática da Universidade Federal da Bahia | Menezes, Márcia Barbosa de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Cantinho Vermelho e outros Símbolos: como se ensinou matemática na URSS | Silva, Circe Mary Silva da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Ensino de Matemática em um Número Especial da Revista The New Era, 1934 | Rabelo, Rafaela Silva | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
How is Statistics and Probability Learning Promoted? An analysis on Primary Education textbooks | Vásquez, Claudia; Pincheira, Nataly; Piñeiro, Juan Luis; Díaz-Levicoy, Danilo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Abordagem das Dificuldades de Ensino e Aprendizagem do Domínio da Estatística na Graduação em Psicologia: um olhar através do contrato didático | Nóbrega, Giselda Magalhães Moreno; Falcão, Jorge Tarcísio da Rocha | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Desenvolvimento Profissional de uma Professora dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental no Tema Probabilidade | Pinheiro, Maria Gracilene de Carvalho; Serrazina, Maria de Lurdes; Silva, Angélica da Fontoura Garcia | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Apropriação Linguística e Significado em Atividades de Modelagem Matemática | Sousa, Bárbara Nivalda Palharini Alvim; Almeida, Lourdes Maria Werle de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Do Modelo Matemático à Modelagem Matemática: descontinuidades históricas | Magnus, Maria Carolina Machado; Caldeira, Ademir Donizeti; Duarte, Claudia Glavam | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Modelagem Matemática e uma Proposta de Trajetória Hipotética de Aprendizagem | Ferreira, Pamela Emanueli Alves; Silva, Karina Alessandra Pessoa da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Teoria da Atividade na Produção de Material Didático Digital Interativo de Matemática | Chiari, Aparecida Santana de Souza; Borba, Marcelo de Carvalho; Souto, Daise Lago Pereira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Necessary Knowledge for Managing Mathematical Work in Simulators Development with GeoGebra | Prieto G., Juan Luis; Buitrago, José Ortiz | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Incluir não é Apenas Socializar: as Contribuições das Tecnologias Digitais Educacionais para a Aprendizagem Matemática de Estudantes com Transtorno do Espectro Autista | Souza, Andiara Cristina de; Silva, Guilherme Henrique Gomes da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Há sempre o que ensinar, há sempre o que aprender: como e por que educação matemática na terceira idade? | Lima, Luciano Feliciano de; Penteado, Miriam Godoy; Silva, Guilherme Henrique Gomes da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Praxeologias do Professor: análise comparativa do livro didático no ensino de equações polinomiais do primeiro grau | Barbosa, Edelweis Jose Tavares; Lima, Anna Paula Avelar Brito | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Covariation in Precalculus Textbooks Tasks: a Case of Trigonometric Ratios | Villa-Ochoa, Jhony Alexander; Acevedo, Ferney Tavera | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
“Lendo e escrevendo o mundo” com Matemática: estudando trigonometria com alunos do 9° ano do Ensino Fundamental | Jürgensen, Bruno Damien da Costa Paes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Invariantes Operatórios de Equilíbrio Algébrico Presentes nas Estratégias de Estudantes do 3° Ano do Ensino Fundamental | Beck, Vinicius Carvalho; Silva, João Alberto da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Frações na Formação Continuada de Professoras dos Anos Iniciais: fragmentos de uma complexidade | Mocrosky, Luciane Ferreira; Orlovski, Nelem; Tychanowicz, Simone Danielle; Andrade, Salete Pereira; Panossian, Maria Lucia | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Descriptors of the Professional Look Development in the Context of Pattern Generalization | Llinares, Alberto Zapatera | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Histórias de Insubordinações Criativas – narrativas de educadoras matemáticas | Crecci, Vanessa; Nacarato, Adair Mendes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Construção e Interpretação de Diagramas de Extremos e Quartis por Alunos Portugueses do 9.° ano de Escolaridade | Carvalho, Maria José; Fernandes, José António; Freitas, Adelaide | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ideias de Van Hiele e Educação Matemática Realística: algumas aproximações | Passos, Adriana Quimentão; Buriasco, Regina Luzia Corio de; Soares, Maria Tereza Carneiro | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
The Comprehension through Process-Object Conceptions. A Study on the Concepts Involved in the Resolution of Optimization Problems | Williner, Betina; Engler, Adriana; Lavalle, Andrea | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Uma Leitura Utilizando a Lente da Teoria Antropológica do Didático acerca de uma Aula sobre Expressões Numéricas | Goulart, Jany Santos Souza; Farias, Luiz Marcio Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.33, n.64, maio/ago. 2019.

Errata

ERRATA | | texto em Português Português

Editorial

A Sociedade Brasileira de Educação Matemática e as Políticas Educacionais | | texto em Português Português

Artigo

A Adição e Subtração no Modo de Ensino Davydoviano | Alves, Ester de Souza Bitencourt; Damazio, Ademir | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Discutindo as Operações de Adição e Subtração com Futuros Professores dos Anos Iniciais | Silva, Maria Marta da; Cedro, Wellington Lima | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Níveis de Compreensão do Conceito de Média Aritmética de Adolescentes a partir do Método Clínico-Crítico Piagetiano | Schreiber, Karla Priscila; Braz, Gabriela; Bertolucci, Cristina Cavalli; Silva, João Alberto da; Porciúncula, Mauren | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Longitudinal study of the symbolic representation capacity in children in the 3-6 cycle of Early Childhood Education in tasks related to mathematical dictation | Novo, María Luisa; Berciano, Ainhoa | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O Desenvolvimento da Flexibilidade do Cálculo Multiplicativo em Alunos do 3.° Ano | Santos, Sónia; Rodrigues, Margarida | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Estratégias, Representações e Flexibilidade na Resolução de Tarefas de Comparação Multiplicativa | Cebola, Graça; Brocardo, Joana | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Links and Gaps between Theoretical Knowledge and Perceptual Practical Knowledge of a Future Teacher When Teaching Algebraic Expressions Multiplication | Olfos, Raimundo; Zakaryan, Diana; Estrella, Soledad; Morales, Sergio | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Problemas de Aritmética: participação na marcha de ensino e na relação com a vida prática (cadernos de alunos franceses – 1890 a 1936) | Bertini, Luciane de Fatima | resumo em Português | Inglês | Francês texto em Português Português
Concepções sobre as matemáticas, seu ensino e sua aprendizagem no Compendio Mathematico (1707) escrito pelo espanhol Thomas Vicente Tosca (1651-1723) | Oller-Marcén, Antonio M.; Muñoz-Escolano, José M. | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Uma Revisão Sistemática de Variáveis Relevantes na Produção de Erros em Matemática | Gris, Gabriele; Palombarini, Livia dos Santos; Carmo, João dos Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Do prospective teachers know their students’ errors in statistical inference? | López-Martín, Maria del Mar; Batanero, Carmen; Gea, María M. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
La influencia de la ansiedad estadística en el razonamiento estadístico de los docentes de matemática con formación inicial | Yusuf, Yusfita; Suyitno, Hardi; Sukestiyarno, Y. L.; Isnarto | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Open Access Documentary Production of the Spanish-Speaking Community in Mathematics Education for Middle School Education | Castro, Paola; Gómez, Pedro; Cañadas, María C. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O Ensino de Números Irracionais na Educação Básica e na Licenciatura em Matemática: um círculo vicioso está em curso? | Broetto, Geraldo Claudio; Santos-Wagner, Vânia Maria Pereira dos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Problema na Modelagem Matemática: determinação e transformação | Vecchia, Rodrigo Dalla; Maltempi, Marcus Vinicius | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Visualization Processes in a Task that Requires Generating and Representing Solids of Revolution | Blanco, Teresa F.; Diego-Mantecón, Jose Manuel; Sequeiros, Pablo González | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Contribuições da Geometria Dinâmica na Introdução ao Estudo de Perspectiva para Alunos do Ensino Médio | Galvão, Maria Elisa Esteves Lopes; Souza, Vera Helena Giusti de; Bastos, Lucas Cunha | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ensinando Seus Pares: a inclusão de um aluno autista nas aulas de Matemática | Fleira, Roberta Caetano; Fernandes, Solange Hassan Ahmad Ali | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Como as Entrevistas com Engenheiros Eletrônicos da Petrobras nos Ajudam a Pensar Matemática nos Cursos de Serviço | Julio, Rejane Siqueira; Monteiro, Alexandrina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Matemática e Surrealismo | Benetti, Djeison; Santos, Vinicius Machado Pereira dos; Souza, Aldi Nestor de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Matemática Como Discurso: uma análise da relação mulher- matemática na obra O Homem Que Calculava, de Malba Tahan | Souza, Luiza Gabriela Razêra de; Oliveira, Moisés Alves de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Entrelugares: pequeno inventário inventado sobre matemática e literatura | Montoito, Rafael | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Alunos de Melhores Resultados Escolares Têm Estruturas Cognitivas de Menor Complexidade | Catarreira, Sofia Maria Veríssimo; García, Luis Manuel Casas; González, Ricardo Luengo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Colaboração Profissional em Estudos de Aula na Perspectiva de Professores Participantes | Richit, Adriana; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.33, n.63, jan./abr. 2019.

Nominata

Consultores Ad hoc – 2018 | | texto em Português Português

Editorial

Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 30 anos: sujeitos, políticas e produção de conhecimento | | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Artigo

Design and Evaluation of a Hypothetical Learning Trajectory to Confidence Intervals based on Simulation and Real Data | Cazares, Santiago Inzunza; Anguiano, Eldegar Islas | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Formação de Professores de Matemática em Licenciaturas em Educação do Campo: entre cartas, epistemologias e currículos | Fernandes, Filipe Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Práticas Algébricas no Contexto de Projetos Pedagógicos de Modelagem | Posada–Balvin, Fabian Arley; Borba, Marcelo de Carvalho | resumo em Português | Espanhol texto em Português Português
Contributions of Dynamic Geometry to the notion of function study starting from a geometrical problem: a praxeological analysis | Costa, Viviana Angélica; Río, Laura Sombra del | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Justificando Generalizações Geométricas na Formação Inicial de Professores dos Primeiros Anos | Brunheira, Lina; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Types of Problems that Elicit Inductive, Abductive, and Deductive Arguments | Molina, Oscar; Samper, Carmen | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Valuation Guide of Didactic Suitability of Instructional Processes in Statistic Didactics | Ruz, Felipe; Molina-Portillo, Elena; García, José M. Contreras | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Apropriação do Conceito de Divisão por meio de Intervenção Pedagógica com Metodologias Ativas | Bessa, Sônia; Costa, Váldina Gonçalves da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Cálculo Mental e Ensino de Aritmética em Escolas da Cidade do Rio de Janeiro no Final do Século XIX | Soares, Flávia dos Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Strategies in solving algebraic problems in an intercultural context in Higher Education | García-García, Javier | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Analysis of the Didactic Device Management by a Mathematics Teacher Trainee | Corica, Ana Rosa; Otero, María Rita | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Mother Tongue and Communication in the Construction of Mathematical Thinking | Espinosa, Alfonso Jiménez; Jiménez, Ingrid Elisa Riaño | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Developing Elementary Algebraic Reasoning through Counting with Patterns Activities | Gaita, Rosa; Wilhelmi, Miguel R. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Cartas de Matemáticos Estrangeiros sobre o Contexto Brasileiro no Início da Década de 1970 | Trivizoli, Lucieli M. | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Saber Estatístico: uma forma de olhar para as produções acadêmicas do PROFMAT | Szewczyk, Susana Beatrís Oliveira; Loguercio, Rochele de Quadros | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um Percurso de Estudo e Pesquisa para o Estudo das Noções de Juros Simples e Compostos | Santos Júnior, Valdir Bezerra dos; Dias, Marlene Alves; Bosch, Marianna | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Intradisciplinaridade Matemática com GeoGebra na Matemática Escolar | Faria, Rejane Waiandt Schuwartz de Carvalho; Maltempi, Marcus Vinicius | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Dinâmicas de Reflexão e Colaboração entre Professores do 1.° Ciclo num Estudo de Aula em Matemática | Quaresma, Marisa; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Working together with introductory situations of proportional reasoning in primary school. Analysis of a teaching experience centered on the teacher, the student and the content | Burgos, María; Godino, Juan D. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Célia Maria Carolino Pires: uma educadora matemática e suas reflexões sobre propostas curriculares | Britis, Karen Gonçalves; Godoy, Elenilton Vieira; Vianna, Carlos Roberto | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Reflexões Sobre Matemática e Verdade | Damázio Júnior, Valdir; Venson, Danielle Leitempergher | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.32, n.62, dez. 2018

Editorial

Da difusão da produção científica: algumas considerações | texto em Português Português

Artigo

Interpretações de Significado em Educação Matemática | Skovsmose, Ole | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Promover o Raciocínio Matemático dos Alunos: uma investigação baseada em design | Mata-Pereira, Joana; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Which Deductive Structures Are Used by Freshmen? | Apud, Eduardo Mario Lacues; Moreno, Leonora Díaz; Martinez, Juan Antonio Huertas | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The Cartesian Plane in Fifth Grade students: its Re-signification on a Specific Situation | Aravena, Angélica; Morales, Astrid | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Compreensão da Representação Bidimensional de Policubos por Alunos do 6° ano em Tarefas de Avaliação Externa | Silva, Paula Vieira da; Santos, Leonor | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Evaluation of the understanding on statistical tables in students of Elementary Education | Sepúlveda, Alejandro; Díaz-Levicoy, Danilo; Jara, Diego | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Crianças do Pré-Escolar a Resolver Problemas de Estrutura Aditiva: Que estratégias? | Soutinho, Florbela; Mamede, Ema | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Inadequação do Uso da Linguagem Algébrica Moderna na Tradução de Enunciados dos Elementos de Euclides | Campos, Dilhermando Ferreira; Moreira, Plinio Cavalcanti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Inserção da Álgebra Linear no Currículo da Primeira Universidade Brasileira | Lima, Gabriel Loureiro de; Gomes, Eloiza | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
The Development of Women’s Talent in Mathematics since the Socioepistemology and the Gender Perspective. A study of biographies | Márquez, Rosa María Farfán; Ramos, María Guadalupe Simón | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Comunicação no Ensino Exploratório: visão profissional de futuros professores de Matemática | Rodrigues, Renata Viviane Raffa; Cyrino, Márcia Cristina de Costa Trindade; Oliveira, Hélia Margarida | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
The Objective Concept of a Mathematical Task for Future Teachers | Aguayo-Amagada, Carmen Gloria; Flores, Pablo; Moreno, Antonio | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Compreendendo a Formação Matemática de Futuros Pedagogos por meio de Narrativas | Julio, Rejane Siqueira; Silva, Guilherme Henrique Gomes da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Compreensão da Definição Formal de Limite: um estudo na formação inicial de professores de Matemática | Fonseca, Vilmar; Henriques, Ana | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Influence of the Teachers’ Training Process in the Area Concept Teaching System in Mathematics Pedagogy Students, a Case Study | Morales, Hernán | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Conexões Matemáticas entre Professores em Cyberformação Mobile: como se mostram? | Rosa, Maurício; Caldeira, João Paulo da Silva | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Teachers-with-Paper-Folding Collective in School Geometric Tasks | Santa-Ramírez, Zaida; Jaramillo-López, Carlos; Gualdrón-Pinto, Élgar | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Análise das Reflexões de uma Professora dos Anos Iniciais Participante do Observatório da Educação a Respeito da sua Prática | Silva, Angélica da Fontoura Garcia; Pinheiro, Maria Gracilene de Carvalho; Canova, Raquel Factori | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Cognitive Demand for Educational Standards and Textbooks for Algebra Teaching in Honduras | Palacios, Luis Armando Ramos; García, Luis Manuel Casas | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Os Manuais Escolares na Gestão do Currículo de Matemática: que papel para o professor? | Viseu, Floriano; Morgado, José Carlos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Measurement estimation activities: The interpretation of Primary School teachers | Pizarro, Noemí; Albarracín, Lluís; Gorgorió, Núria | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Emotional manifestation and modeling of a mathematical function | Díaz, Verónica; Belmar, Hector; Poblete, Álvaro | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The Use of Mathematical Knowledge within Communities of Engineers. From Object to Mathematical Functionality | Mendoza-Higuera, E. Johanna; Cordero, Francisco; Solís, Miguel; Gómez, Karla | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol

Bolema. Rio Claro, v.32, n.61, ago. 2018.

Errata

ERRATA | | texto em Espanhol Espanhol

Artigo

Matemática Escolar e Processos de Subjetivação na Campanha de Nacionalização no Rio Grande do Sul | Junges, Débora de Lima Velho; Knijnik, Gelsa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Dos Manuscritos da Aritmética Elementar de Charles S. Peirce: uma breve apresentação e algumas considerações sobre sua tradução | Garnica, Antonio Vicente Marafioti; Souza, Leandro Josué de; Salandim, Maria Ednéia Martins | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Operational Research Historical Perspectives | Bernardo, Cristiane Hengler Corrêa; Chaves, Viviane Hengler Corrêa; Sant’Ana, Ricardo César Gonçalves; Martínez, Marta Pagán | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Constituição de Ambientes Colaborativos de Aprendizagem em Ações de Formação Continuada: abordagem experimental com GeoGebra | Zampieri, Maria Teresa; Javaroni, Sueli Liberatti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Práticas de Discussão em Sala de Aula de Matemática: os casos de dois professores | Rodrigues, Cátia; Menezes, Luís; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Formação do PNAIC em Geometria e a Trajetória Educacional dos Professores Alfabetizadores | Barbosa, Aline Pereira Ramirez; Cortela, Beatriz Salemme Corrêa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Os Números Racionais na Matemática Acadêmica: uma discussão visando à formação matemática de professores | Elias, Henrique Rizek | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Acquiring the notion of learning hypotheses in mathematics teacher education | Gómez, Pedro; Cañadas, María C.; Suavita, María A. | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Inequalities Handling in Chilean Curriculum and School Texts | Monje, Yerka; Seckel, María José; Breda, Adriana | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Statistical Graphs in Mathematical Textbooks of Primary Education in Perú | Díaz-Levicoy, Danilo; Osorio, Miluska; Arteaga, Pedro; Rodríguez-Alveal, Francisco | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Elaboration of Specific Didactical Suitability Criteria in Probability: Application for Reflection on the Teaching Practice | Beltran-Pellicer, Pablo; Godino, Juan D.; Giacomone, Belén | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Motivos para Participação em Tarefas Investigativas na Aula de Matemática: uma análise a partir dos backgrounds e dos foregrounds de um grupo de estudantes do Ensino Fundamental | Torisu, Edmilson Minoru | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Mathematics, Culture, and Teaching Practice: an analysis of beliefs and sociocultural choices | Panes-Chavarría, Rodrigo; Friz-Carrillo, Miguel; Lazzaro-Salazar, Mariana; Sanhueza-Henríquez, Susan | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Knowledge displayed by Pedagogy Students in Primary Education when Designing a Mathematical Task | Chandia, Eugenio; Huencho, Anahí; Rivas, Hernán; Ortíz, Andrés | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Teorema do Confronto: discussão didática alternativa articulando as práticas usuais e o software Geogebra | Mateus, Pedro; Dias, Marlene Alves | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Extensões de Conhecimentos na Construção da Compreensão de Numeral Decimal | Morais, Cristina; Serrazina, Maria de Lurdes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Dinamismo de uma Prova Escrita em Fases: um estudo com alunos de Cálculo Diferencial e Integral | Mendes, Marcele Tavares; Buriasco, Regina Luzia Corio de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Development and Validation of an Instrument to Measure the Effect in respect to Error Commission in Mathematics | Ibarra-González, Karla Paulina; Eccius-Wellmann, Cristina | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Abordagens Semióticas em Educação Matemática | Almeida, Lourdes Maria Werle de; Silva, Karina Alessandra Pessoa da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um Design Metodológico para Analisar as Concepções dos Docentes em Relação à Produção Discente a partir de Representação Semiótica e Dimensões do Conhecimento Docente | Dionizio, Fátima Aparecida Queiroz; Brandt, Celia Finck; Pereira, Ana Lúcia; Moretti, Méricles Thadeu | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Diga Logo Qual é o Seu Nome e Sua Ocupação! A Disciplina Do Corpo | Machado, Rosilene Beatriz; Flores, Cláudia Regina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.32, n.60, jan./abr. 2018.

Errata

ERRATA | | texto em Português Português

Nominata | Consultores Ad hoc – 2017 | | texto em Português Português

Editorial

Por uma Bancada no Congresso Nacional | Maltempi, Marcus Vinicius | texto em Português Português

Artigo

Conceitos de Affordance e de Agência na Relação Professor-Materiais Curriculares em Educação Matemática | Januario, Gilberto; Manrique, Ana Lúcia; Pires, Célia Maria Carolino | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Estudo Comparativo sobre o Ensino de Matemática em Currículos de Educação Profissional Técnica: Brasil e Estados Unidos | Gonçalves, Harryson Júnio Lessa; Dias, Ana Lúcia Braz; Peralta, Deise Aparecida | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Problem- Solving Methods and Mathematical Thought Development | Lozada, Jorge Antonio Díaz; Fuentes, Rafael Díaz | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Arithmetic Procedures in Variational Phenomena Problem-Solving | Arenas, Claudia Barajas; Rico, Sandra Evely Parada; Zavaleta, Juan Gabriel Molina | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Construções em Geometria Euclidiana Plana: as perspectivas abertas por estratégias didáticas com tecnologias | Oliveira, Gerson Pastre de; Gonçalves, Mariana Dias | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Cibernética e Ficção Científica: uma proposta pedagógica | Chaves, Viviane Hengler Corrêa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Technological Knowledge of Correlation and Regression: an exploratory study with Prospective Teachers | Gea, María M.; Arteaga, Pedro; Batanero, Carmen; Ortiz, Juan Jesús | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Desempenho em Estimativa Numérica de um Grupo de Alunos de 3° e 4° anos do Ensino Fundamental | Nogues, Camila Peres; Dorneles, Beatriz Vargas | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Probabilidade de Acontecimentos Envolvendo Aspetos Lógicos | Fernandes, José António | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Elementos de uma História de Formação Docente: as memórias de um professor de Matemática | Gomes, Maria Laura Magalhães | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
“Obrigada por ter apresentado a História Oral”: propostas desenvolvidas e analisadas em um curso de Licenciatura em Matemática | Andrade, Mirian Maria; Sachs, Línlya | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Tarefas Matemáticas para o Desenvolvimento da Percepção de Espaço na Educação Infantil: potencialidades e limites | Moreira, Celma Bento; Gusmão, Tânia Cristina Rocha Silva; Moll, Vicenç Font | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Evaluative and normative criteria in Didactics of Mathematics: the case of didactical suitability construct | Breda, Adriana; Font, Vicenç; Pino-Fan, Luis Roberto | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Attitudes towards Differential and Integral Calculus: Characterization of Mexican High School Students | Daza, Gustavo; Garza, Beatríz | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol

Bolema. Rio Claro, v.31, n.59, dez. 2017

Editorial

EDITORIAL

Garnica, Antonio Vicente Marafioti; Maltempi, Marcus Vinicius; Miarka, Roger | texto em Português Português

Artigo

The Persuasive Power of Refutation in Collective Argumentation | Cervantes-Barraza, Jonathan; Cabañas-Sánchez, Guadalupe; Ordoñez-Cuastumal, Joan Sebastian | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Criatividade Matemática nas Respostas de Alunos Participantes de uma Competição de Resolução de Problemas | Amaral, Nuno; Carreira, Susana | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Comportamento Metacognitivo Dos Estudantes Da Malásia Ao Resolver Problemas Matemáticos Da Avaliação Do Formulário Três (PT3) | Abdullah, Abdul Halim; Ahmed, Surya ‘Ain; Rahman, Sharifah Nurarfah S. Abd; Mun, Soh Hon; Mokhtar, Mahani | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Formulação de Problemas Matemáticos de Estrutura Multiplicativa por Professores do Ensino Fundamental | Spinillo, Alina Galvão; Lautert, Sintria Labres; Borba, Rute Elizabete de Souza Rosa; Santos, Ernani Martins dos; Silva, Juliana Ferreira Gomes da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Construção de uma Matemática para o Ensino do Conceito de Proporcionalidade Direta a partir de uma Revisão Sistemática de Literatura | Menduni-Bortoloti, Roberta D’Angela; Barbosa, Jonei Cerqueira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Didactical Reductionism and Teachers’ Beliefs about the Pythagorean Theorem | Reyes-Rodríguez, Aarón Víctor; Rondero-Guerrero, Carlos; Acosta-Hernández, Juan Alberto; Campos-Nava, Marcos; Torres-Rodríguez, Agustín Alfredo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Description of the math teacher change from their own perspective through the experience of open-ended problem-solving | Martínez, Ma. Victoria; Araya, Paulina; Berger, Barbara | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Pedagogia Intuitiva da Escola Elementar de Pestalozzi: como se ensinava Aritmética? | Oliveira, Marcus Aldenisson de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Números: a que será que se destina? Currículo e Invenção na Sala de Aula de Matemática | Dore, Lucas Esteves; Clareto, Sônia Maria | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Base Nacional Comum Curricular e o Ensino de Matemática: flexibilização ou engessamento do currículo escolar | Pinto, Antonio Henrique | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Textbook Analysis on Optimization in Pre-university Educational Levels | Balcaza Bautista, Teresa; Contreras de la Fuente, Ángel; Font Moll, Vicenç | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Applications of Mathematics to Everyday Life in Spanish Arithmetic Books Published in the 16th Century | Madrid, María José; Maz-Machado, Alexander; León-Mantero, Carmen; López-Esteban, Carmen | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Formação de Professores que Ensinam Matemática: um olhar sobre as redes sociais e intelectuais do BOLEMA | Cecco, Bruna Larissa; Bernardi, Luci T. M. dos Santos; Delizoicov, Nadir Castilho | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.31, n.58, ago. 2017.

Errata |texto em Português Português

Editorial

Editorial |Garnica, Antonio Vicente Marafioti; Maltempi, Marcus Vinicius; Miarka, Roger | texto em Português Português

Artigo

Apropriação de Práticas Discursivas da Matemática Escolar: considerações a partir de uma experiência de formação intercultural de educadores indígenas | Brito, Ruana Priscila da Silva; Fonseca, Maria da Conceição Ferreira Reis | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Mathematics Teacher Training from Ethnomathematics: a developmental state | Blanco-Álvarez, Hilbert; Fernández-Oliveras, Alicia; Oliveras, María Luisa | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Atitude e Desempenho em Matemática, Crenças Autorreferenciadas e Família: uma path-analysis | Loos-Sant’Ana, Helga; Brito, Márcia Regina Ferreira de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Inventem um Calendário: fabulações produzindo elo entre a vida e a ficção | Azevedo, Fernanda de Oliveira; Rotondo, Margareth Aparecida Sacramento | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Palavra de Ordem em Aula de Matemática: o erro e a besteira | Oliveira, Marta Elaine de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Introducing Learning Creative Mathematical Activity for Students in Extra Mathematics Teaching | Khuziakhmetov, Anvar N.; Gorev, Pavel M. | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Resolução de Problemas na Matemática Financeira para Tratamento de Questões da Educação Financeira no Ensino Médio | Cunha, Clístenes Lopes da; Laudares, João Bosco | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um Cenário sobre a Pesquisa em Educação Estatística no Boletim de Educação Matemática – BOLEMA, de 2006 até 2015 | Silva, Josney Freitas; Curi, Edda; Schimiguel, Juliano | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
The Case of Francisca and the Sense Attributed to Decimals Numbers | Valdemoros-Álvarez, Marta Elena; Ruiz-Ledesma, Elena Fabiola | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Formação em Matemática de Licenciandos em Pedagogia: uma análise à luz do pluralismo metodológico | Costa, Jaqueline de Morais; Viginheski, Lúcia Virginia Mamcasz; Jacinski, Edson; Pinheiro, Nilcéia Aparecida Maciel | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Sala de Aula Invertida: a análise de uma experiência na disciplina de Cálculo I | Pavanelo, Elisangela; Lima, Renan | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Obstáculos e Dificuldades Apresentados por Professores de Matemática Recém-Formados ao Utilizarem Modelagem Matemática em suas Aulas na Educação Básica | Ceolim, Amauri Jersi; Caldeira, Ademir Donizeti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Building the Concept of Integral Function and Covariational Reasoning: two Case Studies | Aranda, Carmen; Callejo, María Luz | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Formação do Conceito de Volume nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: um experimento didático formativo baseado na perspectiva da Teoria do Ensino Desenvolvimental | Vaz, Duelci Aparecido de Freitas; Pereira, Natália Cristina Souza | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Avaliação de Peritos e Utilizadores Indicados na Estratégia de Aprendizagem Usando o SketchUp Make no Aumento das Competências Visual-Espacial e Pensamento Geométrico | Wahab, Rohani Abd; Abdullah, Abdul Halim; Mokhtar, Mahani; Atan, Noor Azean; Abu, Mohd Salleh | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Methodological Difficulties in Research on Indigenous Mathematical Thinking and its Paradoxical Mathematics Education | Aroca, Armando; Cauty, André | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol

Bolema. Rio Claro, v.31, n.57, jan./abr. 2017.

Editorial

EDITORIAL | ttexto em Português Português

Nominata.

Nominata | texto em Português Português

Artigo

Reflexões sobre Interação e Colaboração a partir de um Curso Online | Dantas, Sérgio Carrazedo; Lins, Romulo Campos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
“Sim, Eu Ouvi o que Eles Disseram”: o Diálogo como Movimento de Ir até Onde o Outro Está | Milani, Raquel | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Sujeito Lúdico Produzido pela/na Educação Matemática: Interlocuções com o neoliberalismo | Sartori, Alice Stephanie Tapia; Duarte, Claudia Glavam | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Recuperação Escolar: uma ferramenta de significação no caminho para a seleção de sujeitos sociais | Souza, Deise Maria Xavier de Barros; Silva, Marcio Antonio da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Onto-Semiotic Approach to Mathematics Teacher’s Knowledge and Competences | Godino, Juan D.; Giacomone, Belén; Batanero, Carmen; Font, Vicenç | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Mathematic Teachers’ Specialized Knowledge about Infinity | Montes, Miguel; Carrillo, José | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Teacher Training and Mathematical Proof. Exploratory Study and Implications | Arnal-Bailera, Alberto; Oller-Marcén, Antonio M. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Intra-Mathematics and Extra-Mathematics Connections that Occur When Solving Calculus Problems in a Context: a Case Study in Higher Level Education | Flores, Crisólogo Dolores; García-García, Javier | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Aprendizagem dos Números Racionais com Compreensão Envolvendo um Processo de Modelação Emergente | Guerreiro, Helena Gil; Serrazina, Maria de Lurdes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Ação dos Signos e o Conhecimento dos Alunos em Atividades de Modelagem Matemática | Almeida, Lourdes Maria Werle de; Silva, Karina Alessandra Pessoa da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Analysis of Mathematical Models Produced when Solving Fermi Problems | Ferrando, Irene; Albarracín, Lluís; Gallart, César; García-Raffi, Lluís M.; Gorgorió, Núria | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Aprender a Resolver Problemas no 2.° Ano do Ensino Básico | Sousa, Cristina; Mendes, Fátima | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Diferentes Modos de Utilização do GeoGebra na Resolução de Problemas de Matemática para Além da Sala de Aula: evidências de fluência tecno-matemática | Jacinto, Hélia; Carreira, Susana | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Webquest e a Afetividade Presente na Construção de Conhecimento Matemático por Alunos do Ensino Médio | Martins, André Dias; Bianchini, Luciane Guimarães Batistella; Yaegashi, Solange Franci Raimundo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Habilidades Metacognitivas dos Estudantes Malaios na Resolução de Problemas Não Rotineiros de Matemática | Abdullah, Abdul Halim; Rahman, Sharifah Nurarfah S. Abd; Hamzah, Mohd Hilmi | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Práticas do Professor na Discussão de Tarefas que Visam o Desenvolvimento do Sentido de Número: um estudo no Ensino Básico | Delgado, Catarina; Oliveira, Hélia; Brocardo, Joana | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Possibilidades Pedagógicas do Uso da Imagem Fotográfica no Livro Didático de Matemática | Maciel, Aníbal de Menezes; Rêgo, Rogéria Gaudencio do; Carlos, Erenildo João | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Matemática no Curso Primário: quando o nacional é internacional, França e Brasil (1880–1960) | Valente, Wagner Rodrigues | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Processo de Construção de Abordagens Históricas na Formação Interdisciplinar do Professor de Matemática | Araman, Eliane Maria de Oliveira; Batista, Irinéa de Lourdes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Reflections on Future Mathematics Teachers about Professional Issues Related to the Teaching of School Algebra | Castellanos, María Teresa; Flores, Pablo; Moreno, Antonio | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Conceções de Professores do Ensino Básico sobre a Prova Matemática: influência da experiência profissional | Viseu, Floriano; Menezes, Luís; Fernandes, José António; Gomes, Alexandra; Martins, Paula Mendes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Probabilistic Language: A Path for the Development of Probabilistic Literacy. A Case Study in a Primary Education Classroom | Ortiz, Claudia Vásquez; Alsina, Ángel | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Study of Attitudes Toward Statistics in Psychology Students | Comas, Carles; Martins, José Alexandre; Nascimento, Maria Manuel; Estrada, Assumpta | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Visualization and Configural Reasoning | Clemente, Francisco; Llinares, Salvador; Torregrosa, Germán | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol

Resenha | O Papel das Tecnologias Digitais em Disciplinas de Álgebra Linear a Distância: possibilidades, limites e desafios | Domingues, Por Nilton Silveira | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.30, n.56, set./dez. 2016.

Editorial

Editorial Garnica, Antonio Vicente Marafioti; Miarka, Roger | texto em Português Português

Artigo

O Estudo de Aula como Processo de Desenvolvimento Profissional de Professores de Matemática | Ponte, João Pedro da; Quaresma, Marisa; Mata-Pereira, Joana; Baptista, Mónica | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Pre-service Teachers’ Beliefs about Mathematics Aptitude: considerations to Promote Change Processes in Initial Training | López, Paula; Alsina, Ángel | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O PROFMAT e a Formação do Professor de Matemática: uma análise curricular a partir de uma perspectiva processual e descentralizadora | Caldatto, Marlova Estela; Pavanello, Regina Maria; Fiorentini, Dario | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Quanto de Inusitado Guarda uma Sala de Aula de Matemática? Aprendizagens e erro | Clareto, Sônia Maria; Silva, Aline Aparecida da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Buracos Negros na Formação Inicial de Professores de Matemática | Rodrigues, Carla Gonçalves; Schwantz, Josimara Wikboldt | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Didática dos Signos: ressonâncias na Educação Matemática contemporânea | Bampi, Lisete Regina; Camargo, Gabriel Dummer | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Influência da Cultura Local no Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática numa Comunidade Quilombola | Santos, Jailson Gomes dos; Silva, Jonson Ney Dias da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Etnomatemática do Sistema de Contagem Guarani das Aldeias Itaty, do Morro dos Cavalos, e M’Biguaçu | Silva, Sérgio Florentino da; Caldeira, Ademir Donizeti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Interdisciplinaridade no Ensino É Possível? Prós e contras na perspectiva de professores de Matemática | Ocampo, Daniel Morin; Santos, Marcelli Evans Telles dos; Folmer, Vanderlei | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Digital Mediation and Interdisciplinarity: an Approach to the Study of Variation | Parada, Sandra-Evely; Conde, Luis-Alexander; Fiallo, Jorge | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Problematizando Enunciados no Discurso da Modelagem Matemática | Magnus, Maria Carolina Machado; Caldeira, Ademir Donizeti; Duarte, Claudia Glavam | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Práticas de Monitoramento Cognitivo em Atividades de Modelagem Matemática | Vertuan, Rodolfo Eduardo; Almeida, Lourdes Maria Werle de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Conditions to Promote the Development of Argumentation Competence in the Mathematics Classroom | Solar, Horacio Solar; Deulofeu, Jordi | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Aprendizado Baseado na Competência Aplicado ao Ensino Superior da Matemática como um Cluster de Abordagens Eficientes | Kytmanov, Alexey A.; Noskov, Michael V.; Safonov, Konstantin V.; Savelyeva, Marina V.; Shershneva, Victoria A. | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
A Transição das Razões para as Funções Trigonométricas | Galvão, Maria Elisa Esteves Lopes; Souza, Vera Helena Giusti de; Miashiro, Paulo Masanobo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Intuitive Approach to Randomness, the Case of 14 and 14-year-old Students of a Municipal High School | Olave, Teresita Méndez; Retamal, Ismenia Guzmán | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Traduzindo Pensamento e Letramento Estatístico em Atividades para Sala de Aula: construção de um produto educacional | Santana, Mario de Souza | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Como Professores e Futuros Professores Interpretam Erros de Alunos ao Resolverem Problemas de Estrutura Multiplicativa? | Spinillo, Alina Galvão; Soares, Maria Tereza Carneiro; Moro, Maria Lucia Faria; Lautert, Sintria Labres | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Percepções de Estudantes acerca de um Instrumento Diferenciado de Avaliação em Aulas de Matemática | Trevisan, André Luis; Buriasco, Regina Luzia Corio de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Memórias de Ex-alunos do Colégio de Aplicação da Bahia: contribuições para a História da Educação Matemática | Rios, Diogo Franco | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Estátua Equestre de D. Pedro I e a Educação Matemática nas Escolas de Aprendizes Artífices no Início da República | Moura, Elmha Coelho Martins | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A História de Nair: a Força da Identidade Institucional para a Permanência na Docência em Matemática | Paz, Mônica Lana da; Frade, Cristina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Características da Matemática Financeira Expressa em Livros Didáticos: conexões entre a sala de aula e outras práticas que compõem a Matemática Financeira disciplinar | Queiroz, Maria Rachel P. Pessoa P. de; Barbosa, Jonei Cerqueira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Papel da Estatística na Formação do Engenheiro de Produção | Silva Junior, Geraldo Bull da; Lopes, Celi Espasandin | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Resenhas | Resenha | Souza, Leandro Josué de | texto em Português Português

Errata.

Errata | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.30, n.55, mai./ago. 2016.

Editorial

Editorial | texto em Português Português

Artigo

A Educação Matemática Muda | Fernandes, Filipe Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Movimentos de Teorizações em Educação Matemática | Santos, João Ricardo Viola dos; Lins, Romulo Campos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Historiografia e Terapia na Cidade da Linguagem de Wittgenstein | Miguel, Antonio | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Tempo, História e Educação Matemática | Brito, Arlete de Jesus | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Studies of Mathematics at the University of Alcalá in the Era of Carlos III and its Precedents | Peralta, Javier | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Os 80 Anos do Primeiro Curso de Matemática Brasileiro: sentidos possíveis de uma comemoração acerca da formação de professores no Brasil | Gomes, Maria Laura Magalhães | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Formação Matemática nos Cursos de Licenciatura em Educação do Campo | Sachs, Línlya; Elias, Henrique Rizek | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Integration of Ethnomathematics in Mathematics Classroom: possibilities and limitations | Oliveras, María Luisa; Blanco-Álvarez, Hilbert | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Exploratory Analysis of the Mathematical Practices of two Mapuches Students in Schools with and without Bilingual Intercultural Education | Salas, Sonia S.; Godino, Juan D.; Quintriqueo, Segundo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Descaminhos: potencialidades da Arte com a Educação Matemática | Flores, Cláudia Regina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Por Que Análise Real na Licenciatura? Um Paralelo entre as Visões de Educadores Matemáticos e de Matemáticos | Moreira, Plinio Cavalcanti; Vianna, Carlos Roberto | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Proposal for Reconstruction of the Holistic Meaning of the Antiderivative | Gordillo, Wilson; Pino-Fan, Luis R. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Teaching Analysis to Process Integration Method Instruction by Parties | Nieves, Enrique Mateus | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Descriptive Problems of Fractions | Alfonso, Bernardo Gómez; García, María Teresa Sanz; Gabarda, Irene Huerta | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Mathematics Teacher Educator’s Beliefs on Problem Solving | Chandia, Eugenio; Rojas, Daniela; Rojas, Francisco; Howard, Sebastián | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Consent with the Other in the Interpretation of Mathematical Understanding | Romero, Jesús Gallardo; Batallanos, Verónica A. Quintanilla | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Manifestations of Mathematics Professors on their Practices of Problem Solving Assessment | Lizarazo, Janeth A. Cárdenas; Blanco Nieto, Lorenzo J.; Barona, Eloísa Guerrero; Carrasco, Ana Caballero | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Semiotics Functions as a Tool for Diagnosis and Error Approach | Aznar, Andrea; Baccelli, Sandra; Figueroa, Stella; Distéfano, María Laura; Anchorena, Sergio | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Development of Scientific Activity in the classroom through the study of Combinatorial Games, the Example of the Chocolate Game | Colipan, Ximena | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Statistic graphs in primary education textbooks: a comparative study between Spain and Chile | Díaz-Levicoy, Danilo; Batanero, Carmen; Arteaga, Pedro; Gea, María M. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Uma Análise Sobre a Imagem da Dimensão Estrutural da Prática Pedagógica em Materiais Curriculares Educativos | Prado, Airam da Silva; Oliveira, Andréia Maria Pereira de; Barbosa, Jonei Cerqueira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Design and Implementation of a Course for the Training of Mathematics Teachers: A Proposal since ATD | Corica, Ana Rosa; Otero, María Rita | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Model of Professional Competence of Mathematics (MCPM) and its Implementation in Primary Teachers in Chile | Díaz Q., Verónica; Poblete L., Álvaro | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Teaching Role of the Researcher in Educational Mathematics: an Example in a Postgraduate Course for Teachers of Higher Level | Fernández, Jimena; Molfino, Verónica; Ochoviet, Cristina | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Preschool Students’ Understanding of a Geometric Shape, the Square | Halat, Erdoğan; Dağli, Ümmühan Yeşil | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Resenhas | A Quinta História: composições da Educação Matemática como área de pesquisa. | Gonzales, Kátia Guerchi | texto em Português Português
Um Retrato de uma Licenciatura em Matemática a Distância sob a Ótica de seus Alunos Iniciantes | Almeida, Helber Rangel Formiga Leite de | texto em Português Português
Narrativas de graduandos do curso de pedagogia: representações sobre a profissão docente e o silenciamento sobre a matemática | Severino, Augusta Teresa Barbosa | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.30, n.54, jan./abr. 2016.

Editorial

EDITORIAL | texto em Português Português

Artigo

The Teacher’s role from the perspective of Mathematical Working Spaces | Gómez-Chacón, Inés Mª; Kuzniak, Alain; Vivier, Laurent | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Future Elementary School Teachers’ Mathematical Working Space for Working with Natural Number in Any Base | Nikolantonakis, Kostas; Vivier, Laurent | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The Mathematical Work of Teachers in the Transition from the Synthetic Geometry to the Analytic at Secondary School | Henríquez-Rivas, Carolina; Montoya-Delgadillo, Elizabeth | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The Concept of Locus. Genesis of Personal and Professional Use with Different Tools | Gómez-Chacón, Inés M.; Botana, Francisco; Escribano, Jesús; Abánades, Miguel Á. | resumo em Português | Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Technological environments and its influence in Mathematical Working Spaces | Sánchez, Antonio Codina; Albaladejo, Isabel Mª Romero | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Semiotic Genesis of Integers | Pluvinage, François; Flores, Patricia | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Transitioning from “It Looks Like” to “It Has To Be” in Geometrical Workspaces: affect and near-to-me attention | Rodd, Melissa | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Desenvolvimento da Identidade Profissional de Professores de Matemática em Comunidades de Prática: Reificações do Ensino do Raciocínio Proporcional | Cyrino, Márcia Cristina de Costa Trindade | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Nobel Teacher’s Epistemological Stability and Mathematical Working Space | Montoya-Delgadillo, Elizabeth; Mena-Lorca, Jaime; Mena-Lorca, Arturo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The Role of MTSK as Model of Teachers’ Knowledge in the Relationship between Mathematical Working Spaces | Flores-Medrano, Eric; Montes, Miguel A.; Carrillo, José; Contreras, Luis C.; Muñoz-Catalán, Mª Cinta; Liñán, Mª Mar | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge and the Mathematical Working Spaces of a Linear Algebra’s Teacher | Mora, Diana Vasco; Climent, Nuria; Escudero-Ávila, Dinazar; Montes, Miguel A.; Ribeiro, Miguel | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Arithmetico-Algebraic Thinking through a Mathematical Working Space in a Paper, Pencil, and Technological Environment in Secondary School | Cortés, José Carlos; Hitt, Fernando; Saboya, Mireille | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The Mathematical Work with the Derivative of a Function: Teachers’ Practices with the Idea of “Generic” | Panero, Monica; Arzarello, Ferdinando; Sabena, Cristina | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Fostering Representational Flexibility in the Mathematical Working Space of Rational Numbers | Gagatsis, Athanasios; Deliyianni, Eleni; Elia, Iliada; Panaoura, Areti; Michael-Chrysanthou, Paraskevi | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês

Bolema. Rio Claro, v.29, n.53, dez. 2015.

Editorial

EDITORIAL | texto em Português Português

Artigo

eDucAçÃo MAteMátiCA AefeTIvA: nomes e movimentos em avessos | Clareto, Sônia Maria; Miarka, Roger | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Práticas Efetivas em Educação Matemática no contexto de um banco comunitário | Meneghetti, Renata Cristina Geromel; Barrofaldi, Rita de Cássia Zacheo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Fronteiras Urbanas: perspectivas para as investigações em etnomatemática | Coppe, Cristiane; Mesquita, Mônica | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A experiência etnográfica: sobre habitar e ser habitado pelo mundo Apyãwa | Severino Filho, João | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Práticas Escolares de Matemática no Instituto Nossa Senhora da Piedade em Ilhéus: desafios para a educadora baiana Martha Dantas | Gomes, Larissa Pinca Sarro; Miorim, Maria Ângela | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Práticas Possíveis com a História Oral na Formação Inicial de Professores (de Matemática) | Tizzo, Vinícius Sanches; Flugge, Flávia Cristina Gomes; Silva, Heloisa da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Mostruário de Práticas: considerações sobre a formação e a atuação de professores dos Anos Iniciais a partir das Feiras Catarinenses de Matemática | Silva, Viviane Clotilde da; Garnica, Antônio Vicente Marafioti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O uso de narrativas (auto)biográficas como uma possibilidade de pesquisa da prática de professores acerca da Educação (Matemática) Inclusiva | Rosa, Fernanda Malinosky C. da; Baraldi, Ivete Maria | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ensino e Aprendizagem de Matemática Através da Resolução de Problemas Como Prática Sociointeracionista | Leal Junior, Luiz Carlos; Onuchic, Lourdes de la Rosa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Comunidade de Prática de Professores que Ensinam Matemática como Espaço de Negociações de Significados sobre a Resolução de Problemas | Ramos, Wanusa Rodrigues; Manrique, Ana Lúcia | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Uso das TIC nas Práticas dos Professores de Matemática da Rede Básica de Ensino: o projeto Mapeamento e seus desdobramentos | Javaroni, Sueli Liberatti; Zampieri, Maria Teresa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Dialogando sobre e Planejando com o SuperLogo no Ensino de Matemática dos Anos Iniciais | Souza, Ana Paula Gestoso de; Passos, Cármen Lúcia Brancaglion | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Papel Pedagógico das Artes e das Mídias Digitais na Prática do Currículo de Matemática de Ontário | Silva, Ricardo Scucuglia Rodrigues da | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Caiu na Net: e agora? | Mendes, Ricardo de Oliveira; Maltempi, Marcus Vinicius | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Educação a Distância Online e Formação de Professores: práticas de pesquisas em Educação Matemática no estado de São Paulo | Paulin, Juliana França Viol; Miskulin, Rosana Giaretta Sguerra | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Tecnologias Digitais e a relação entre teoria e prática: uma análise da produção em trinta anos de BOLEMA | Borba, Marcelo de Carvalho; Almeida, Helber Rangel Formiga Leite de; Chiari, Aparecida Santana de Souza | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Devir-criança da Matemática: experimentações em uma pesquisa com imagens e infâncias | Chisté, Bianca Santos; Leite, César Donizetti Pereira; Oliveira, Luana Priscila de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Teoria dos Campos Conceituais num Processo de Formação Continuada de Professores | Santana, Eurivalda; Alves, Alex Andrade; Nunes, Célia Barros | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Campo Conceitual Aditivo: um estudo com professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental | Etcheverria, Teresa Cristina; Campos, Tânia Maria Mendonça; Silva, Angélica Fontoura Garcia | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ensino de Matemática nos Anos Iniciais: aprendizagens de uma professora no contexto de tarefas investigativas | Bertini, Luciane de Fatima | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Discussões sobre a Relação entre Limite e Continuidade de uma Função: investigando Imagens Conceituais | Messias, Maria Alice de Vasconcelos Feio; Brandemberg, João Cláudio | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Quatro ou Mais Pontos de Vista sobre o Ensino de Análise Matemática | Gomes, Danilo Olímpio; Otero-Garcia, Sílvio César; Silva, Luciano Duarte da; Baroni, Rosa Lúcia Sverzut | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Negociação de Sinais em Libras como Possibilidade de Ensino e de Aprendizagem de Geometria | Sales, Elielson Ribeiro de; Penteado, Miriam Godoy; Moura, Amanda Queiroz | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Aprendizagens Expansivas Reveladas pela Pesquisa sobre a Atividade Matemática na Sala de Aula | David, Maria Manuela; Tomaz, Vanessa Sena | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Do Conceito à Prática da Autonomia do Professor de Matemática | Souza, Antonio Carlos Carrera de; Silva, Michela Tuchapesk da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Uma Experiência de Formação Continuada com Professores de Arte e Matemática no Ensino de Geometria | Santos, Marli Regina dos; Bicudo, Maria Aparecida Viggiani | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Estudos em Raciocínio Combinatório: investigações e práticas de ensino na Educação Básica | Borba, Rute Elizabete de Souza Rosa; Rocha, Cristiane de Arimatéa; Azevedo, Juliana | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.29, n.52, ago. 2015

Editorial

O que pode um Editorial? | Miarka, Roger | texto em Português Português

Artigo

A École Polytechnique de Paris: mitos, fontes e fatos | Amadeo, Marcello; Schubring, Gert | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Enunciados de Tarefas de Matemática Baseados na Perspectiva da Educação Matemática Realística | Ferreira, Pamela Emanueli Alves; Buriasco, Regina Luzia Corio de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Reflexões sobre Relações entre Currículo, Avaliação e Formação de Professores na Área de Educação Matemática | Pires, Célia Maria Carolino | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ethnomathematics of an Argentine Craft: identifing ethnomodels of braid | Albanese, Veronica | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Paquimé. Mesoamerican Influence of Mathematical and Astronomical Thinking | Ríos, Alberto Camacho; Luján, Bertha Ivonne SÁNCHEZ | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Prehispanic Designs, Movements and Transformations in the Circle and Initial Teacher Training | Aroca, Armando | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Possibilidades Filosóficas em Etnomatemática | Marchon, Fabio Lennon; Fantinato, Maria Cecília | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Caminhos do Significado em Atividades de Modelagem Matemática: um olhar sobre os interpretantes | Silva, Karina Alessandra Pessoa da; Almeida, Lourdes Maria Werle de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Teaching Modelling at University Level: the institutional relativity of study and research paths | Barquero, Berta | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Constituição de Comunidades de Práticas Locais e o Ambiente de Aprendizagem da Modelagem Matemática: algumas relações | Braz, Bárbara Cândido; Kato, Lilian Akemi | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Utilização do Geogebra na Demonstração Matemática em Sala de Aula: o estudo da reta de Euler | Amado, Nélia; Sanchez, Juan; Pinto, Jorge | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Desenvolvimento da Identidade Profissional de Futuros Professores de Matemática no Âmbito da Orientação de Estágio | Teixeira, Bruno Rodrigo; Cyrino, Márcia Cristina de Costa Trindade | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Primary School Teachers’ Didactic-Mathematical Knowledge When Teaching Probability: development and validation of an evaluation instrument | Vásquez, Claudia; Alsina, Ángel | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Ritual Procedures while Solving Tasks in Algebraic Context in Pre-Service Mathematics Teachers | Fernández, Jimena; Ochoviet, Cristina | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O ensino de fr ções via resolução de problemas na formação de futuras professoras de pedagogia | Proença, Marcelo Carlos de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O que é Realmente a Matemática? Quem Quer Saber? | Otte, Michael Friedrich; Barros, Luiz Gonzaga Xavier de | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Resenhas | Uma Escola Pode e Muito Mais, Senhor! | Fernandes, Filipe Santos | texto em Português Português
Abrindo a caixa preta da escola: uma discussão acerca da cultura escolar e da prática pedagógica do professor de Matemática | Rodrigues, Thiago Donda | texto em Português Português
Uma Leitura das Falas dos Alunos do Ensino Fundamental sobre a Aula de Matemática | Litoldo, Beatriz Fernanda | texto em Português Português
Um estudo sobre as contribuições de um curso de formação continuada a partir das narrativas de professoras que ensinam matemática | Dombrowski, Adriane Elisa | texto em Português Português

Errata.

Errata | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.29, n.51, abr. 2015.

Editorial

Editorial | texto em Português Português

Artigo

Insubordinação Criativa: um convite à reinvenção do educador matemático | D’Ambrosio, Beatriz Silva; Lopes, Celi Espasandin | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
(Etno)matemática como discurso | Skovsmose, Ole | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Conhecimento Matemático para o Ensino de Diferentes Significados do Sinal de Igualdade: um estudo desenvolvido com professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental | Trivilin, Linéia Ruiz; Ribeiro, Alessandro Jacques | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Proposal for the Analysis of Prospective Teachers’ Mathematical Practices on Derivatives | Pino-Fan, Luis R.; Godino, D. Juan; Font, Vicenç | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Dispositivo Experimentoteca de Matemática: produção na imanência | Rotondo, Margareth Aparecida Sacramento; Marocco, Tamiris Taroco | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Clock problems. Historical Examples and Didactical Considerations | Seguí, Vicente Meavilla; Marcén, Antonio M. Oller | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Ensino de Área de Figuras Geométricas Planas no Currículo de Matemática do Projovem Urbano | Carvalho, Dierson Gonçalves de; Bellemain, Paula Moreira Baltar | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Specialized Knowledge of One Primary Mathematics Teacher Teaching Rational Numbers | Rojas, Nielka; Flores, Pablo; Carrillo, José | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Envolvimento dos Alunos em Atividades de Modelagem Matemática: relação com o saber e possibilidades de ação | Campos, Ilaine da Silva; Araújo, Jussara de Loiola | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Epistemological, Historical, and Didactic Aspects of University Teaching Faculty Professional Knowledge of Probability | Barragués, José I.; Morais, Adolfo; Guisasola, Jenaro | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Processos do Pensamento Matemático Avançado Evidenciados em Resoluções de Questões do ENADE | Gereti, Laís Cristina Viel; Savioli, Angela Marta Pereira das Dores | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Potencialização da Aprendizagem Autorregulada de Bolsistas do PIBID/UFPel do curso de Licenciatura em Matemática através de Oficinas Pedagógicas | Pranke, Amanda; Frison, Lourdes Maria Bragagnolo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Compreensão do Conceito de Razão por Futuros Educadores e Professores dos Primeiros Anos de Escolaridade | Fernandes, José António; Leite, Laurinda | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um Estudo da Criação e Desenvolvimento de Licenciaturas em Matemática na Universidade Federal de Mato Grosso do Sul | Bittar, Marilena; Nogueira, Renato Gomes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Conhecimento Didático de Estatística de Duas Professoras de Matemática sobre Dados Bivariados | Quintas, Sandra Maria Oliveira; Ferreira, Antónia Rosa O. F. T.; Oliveira, Hélia Margarida A. P. | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
High-School Students’ Use of Intuitive Simple Approximation and Feedback Phenomena in Sequences | Mellado, Francisco-Javier Claros; Compaña, Teresa Sánchez; Benarroch, Moisés Coriat | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Competência Cognitiva e Resolução de Problemas com Equações Algébricas do 1° Grau | Sperafico, Yasmini Lais Spindler; Dorneles, Beatriz Vargas; Golbert, Clarissa Seligman | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Apropriação como Produção Coletiva na Atividade e Internalização como Resultado desta Atividade: um exemplo de álgebra elementar na sala de aula | Costa, Eveline Vieira; Santa-Clara, Angela | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
As Concepções de Geometrias não Euclidianas de um Grupo de Professores de Matemática da Educação Básica | Lovis, Karla Aparecida; Franco, Valdeni Soliani | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Professional Development of Mathematics Teacher from their Classroom Tasks proposed in a Teacher Education Course | Ramos-Rodríguez, Elisabeth; Martínez, Pablo Flores; Ponte, João Pedro da; Verdejo, Antonio Moreno | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Resenhas | Alterações e Manutenções: leituras sobre a geometria como saber escolar | Garnica, Antonio Vicente Marafioti | texto em Português Português
Pró-Letramento: relações com o saber e o aprender de tutores do pólo Itapecuru-Mirim/MA | Dombrowski, Adriane Elisa | texto em Português Português
As Geometrias Esférica e Hiperbólica em Foco: sobre a Apresentação de alguns de seus Conceitos Elementares a Estudantes do Ensino Médio | Brum, Wanderley Pivatto; Schuhmacher, Elcio; Silva, Sani de Carvalho Rutz da | texto em Português Português
Educação e tecnologias: o novo ritmo da informação | Assis, Luciana M. Elias de | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.28, n.50, dez. 2014

Editorial

EDITORIAL | texto em Português Português

Artigo

Estudo sobre a Visão do Professor em Relação à Argumentação e Prova Matemática na Escola | Aguilar Junior, Carlos Augusto; Nasser, Lilian | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Os Tipos de Conhecimento que são Usados por Alunos Superdotados na Oitava Série Durante a Resolução de Problemas | Baltacı, Serdal; Yıldız, Avni; Güven, Bülent | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
A Formação do Educador Matemático Ubiratan D’Ambrosio: trajetória e memória | Borges, Rosimeire Aparecida Soares; Duarte, Aparecida Rodrigues Silva; Campos, Tânia Maria Mendonça | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Thematic Research Trends in Mathematics Education in Spain | Bracho, Rafael; Torralbo, Manuel; Maz-Machado, Alexander; Adamuz, Natividad | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Educação Matemática no Contexto da Etnomatemática Indígena Xavante: um jogo de probabilidade condicional | Costa, Bruno José Ferreira da; Tenório, Thaís; Tenório, André | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
On the Teaching of Poisson Distribution in Engineering Education | Cruz-Ramírez, Miguel; Álvarez-Reyes, Salvador Eladio; Pérez-Santos, Francisco Javier | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O Sistema de Numeração nas Tarefas Propostas por Davýdov e seus Colaboradores para o Ensino de Matemática | Rosa, Josélia Euzébio da; Damazio, Ademir; Silveira, Gisele Mezzari | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Genealogia e Etnomatemática: uma aproximação em prol da insurreição dos saberes sujeitados | Damázio Júnior, Valdir | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Grandeza Volume: um estudo exploratório sobre como alunos do ensino médio lidam com situações de comparação | Figueiredo, Ana Paula Nunes Braz; Bellemain, Paula Moreira Baltar; Teles, Rosinalda Aurora de Melo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Teachers’ Trigonometric Meaning | Espinosa, Gisela Montiel; Cortés, Gonzalo Jácome | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A Practice Model to Analyze the Social Process of Academic Institutionalization of Mathematical Knowledge | Vigo, Verónica Molfino; Ábalos, Gabriela Buendía | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Difficulties in Codifying, Relating, and Sorting Algebraic Verbal Problems: two studies with secondary students and pre-service teachers | Gómez-Ferragud, Carlos B.; Solaz-Portolés, Juan José; Sanjosé, Vicente | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Statistical Reasoning of University Students on Data Analysis in Computational Environment | Cazares, Santiago Inzunsa | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Práticas Laborais nas Salas de Aula de Matemática da EJA: perspectivas e tensões nas concepções de aprendizagem | Schneider, Sonia Maria; Fonseca, Maria da Conceição Ferreira Reis | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Enquanto isso na Sociedade de Consumo Líquido-Moderna: a produção de significados e a tomada de decisão de indivíduos-consumidores | Kistemann Jr., Marco Aurélio; Lins, Romulo Campos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Fenômeno Didático Institucional da Rigidez e a Atomização das Organizações Matemáticas Escolares | Lucas, Catarina; Fonseca, Cecilio; Gascón, Josep; Casas, José | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A História do Conceito de Função em Vídeo: uma proposta para a aprendizagem | Maciel, Paulo Roberto Castor; Cardoso, Tereza Fachada Levy | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Atribuições Dadas à Matemática e Ansiedade ante a Matemática: o relato de alguns estudantes do ensino fundamental | Mendes, Alessandra Campanini; Carmo, João dos Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O Euclides e Seus Rivais Modernos, de Lewis Carroll (1879): uma apresentação | Montoito, Rafael; Garnica, Antonio Vicente Marafioti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Probabilistic Thinking of Biology Teachers in Training | Moreno, Amable; Cardeñoso, José María; González-García, Francisco | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The Contribution of the Spanish Mathematical Society to Mathematics Education during the First Twenty Years to the Foundation | Peralta, Javier | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Representações e Processos de Raciocínio na Comparação e Ordenação de Números Racionais numa Abordagem Exploratória | Ponte, João Pedro da; Quaresma, Marisa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Significados e Representações dos Números Racionais Abordados no Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM | Silva, Fernanda Andréa F.; Santiago, Mônica Maria Lins; Santos, Marcelo Câmara dos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Formação Continuada de Professores que Lecionam Matemática: desenvolvendo a prática reflexiva docente | Silva, Angélica da Fontoura Garcia; Serrazina, Maria de Lurdes; Campos, Tânia Maria Mendonça | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Academic Mathematical Discourse and Exclusion. A Socio-epistemological Vision | Soto, Daniela; Cantoral, Ricardo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Use of Letters as a Source of Errors for University Students in Solving Algebraic Tasks | Suárez, José García; Alex, Isidoro Segovia; Gómez, José Luis Lupiáñez | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A construção de identidades online por meio do Role Playing Game: relações com o ensino e aprendizagem de matemática em um curso a distância | Vanini, Lucas | texto em Português Português
Projetos Minerva: caixa de jogos caleidoscópica | Matucheski, Silvana | texto em Português Português
O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino fundamental | Kistemann Jr., Marco Aurélio | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.28, n.49, ago. 2014.

Editorial

Editorial | texto em Português Português

Articles

O Currículo de Matemática em revista: um Editorial | Pires, Célia Maria Carolino; Godoy, Elenilton Vieira; Silva, Márcio Antonio da; Santos, Vinício de Macedo | texto em Português Português
School Mathematics Curriculum and the Governing of the Modern Subject | Valero, Paola; García, Gloria | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Currículo como Currere, como Complexidade, como Cosmologia, como Conversa e como Comunidade: contribuições teóricas pós-modernas para a reflexão sobre currículos de matemática no ensino médio | Silva, Marcio Antonio da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Pesquisas e Documentos Curriculares no Âmbito da Educação Matemática de Jovens e Adultos | Januario, Gilberto; Freitas, Adriano Vargas; Lima, Katia | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Livros Didáticos e Apostilas: o currículo de matemática e a dualidade do ensino médio | Fonseca, Aline Germano; Vilela, Denise Silva | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Transformação dos Textos dos Materiais Curriculares Educativos por Professores de Matemática: uma análise dos princípios presentes na prática pedagógica | Aguiar, Wagner Ribeiro; Oliveira, Andreia Maria Pereira de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Gestão do Currículo de Matemática sob Diferentes Profissionalidades | Crecci, Vanessa Moreira; Fiorentini, Dario | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Professores dos Três Primeiros Anos do Ensino Fundamental da Rede Municipal de São Paulo e suas Relações com o Currículo Prescrito e Apresentado no Ensino de Matemática | Vece, Janaina Pinheiro; Curi, Edda | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Construção do Currículo de Matemática: como os professores dos anos iniciais compreendem o que deve ser ensinado? | Santos, Marcelo Câmara dos; Ortigão, Maria Isabel Ramalho; Aguiar, Glauco da Silva | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Relação Família-Escola e a Prática do “Dever de Casa” de Matemática: um estudo sobre seus tensionamentos | Knijnik, Gelsa; Junges, Débora de Lima Velho | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Currículo e o Papel da Pesquisa: Relatório para o ICME 12 | Burrill, Gail; Lappan, Glenda; Gonulates, Funda | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Narrativas na pesquisa em Educação Matemática: caleidoscópio teórico e metodológico | Mendes, Nacarato Adair; Passos, Cármen Lucia Brancaglion; Silva, Heloisa da | texto em Português Português
20 Minutos na Fila: sobre experiência, relato e subjetividade em Imre Kertész | Bondía, Jorge Larrosa; Fernandes, Filipe Santos | texto em Português Português
Scientific Production about Narrative in Mathematics Education field in the Web of Science | Bracho, Rafael; Jiménez-Fanjul, Noelia; Maz-Machado, Alexander; Torralbo-Rodríguez, Manuel; Fernández-Cano, Antonio | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
De Professor de Matemática a Pesquisador em Educação Matemática: uma trajetória | Trevisan, André Luis | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Perscrutando Diários de Aulas e Produzindo Narrativas sobre a Disciplina Estágio Supervisionado de um Curso de Licenciatura em Matemática | Gonçalves Júnior, Marcos Antonio; Carvalho, Dione Lucchesi de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Narrativas na Formação do Professor de Matemática: o caso da professora Atíria | Zuffi, Edna Maura; Degrava, Cláudia Flora; Utsumi, Miriam Cardoso; Prado, Esther Pacheco de Almeida | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
História da Educação Matemática, Formação de Professores a Distância e Narrativas Autobiográficas: dos sofrimentos e prazeres da tabuada | Gomes, Maria Laura Magalhães | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
As Narrativas de Duas Professoras em seus Processos de Desenvolvimento Profissional em Educação Estatística | Lopes, Celi Espasandin | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Narrativas de Práticas Pedagógicas de Professoras que Ensinam Matemática na Educação Infantil | Azevedo, Priscila Domingues de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Narrativas de Alunas-Professoras dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: uma cultura de aula de matemática | Carneiro, Reginaldo Fernando | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Biografia do Orvalho: considerações sobre narrativa, vida e pesquisa em Educação Matemática | Fernandes, Filipe Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Narrativas: um olhar sobre o exercício historiográfico na Educação Matemática | Cury, Fernando Guedes; Souza, Luzia Aparecida de; Silva, Heloisa da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O uso de blogs como tecnologia educacional narrativa para a forma/ação inicial docente | Santos, Luciane Mulazani dos; Miarka, Roger; Siple, Ivanete Zuchi | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Narrativas Multimodais: a imagem dos matemáticos em performances matemáticas digitais | Silva, Ricardo Scucuglia Rodrigues da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Como Seria um Mundo sem Matemática? Hein?! Na tensão narrativa-verdade | Clareto, Sônia Maria; Rotondo, Margareth A. Sacramento | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um reposicionamento: reconhecendo nossas contradições | Cox, Dana; D?Ambrosio, Beatriz Silva; Keiser, Jane; Naresh, Nirmala | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês

Bolema. Rio Claro, v.28, n.48, abr. 2014.

Editorial | texto em Português Português

Ethnomathematics in Braiding Crafts: application of a methodological model | Albanese, Veronica; Oliveras, María Luisa; Perales, Francisco Javier | resumo em Português | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Pre-service primary school teachers’ specialized content knowledge for teaching of proportional reasoning | Buforn, Ángela; Fernández, Ceneida | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O processo de inserção das geometrias não euclidianas no currículo da escola paranaense: a visão dos professores participantes | Caldatto, Marlova Estela; Pavanello, Regina Maria | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Secondary school students’ flexibility when solving problems of recognition of lineal patterns | Callejo, María Luz; Zapatera, Alberto | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Opportunities to learn and mathematics competences: two case studies | Carrillo, José; Contreras, Luís C.; Zakaryan, Diana | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Algumas considerações sobre a ansiedade relativa à matemática em futuros professores da escola elementar | Çatlıoğlu, Hakan; Gürbüz, Ramazan; Birgin, Osman | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
The extended praxeological model: a tool to analyze mathematics in practice – the case of mayan house, survey and topographical drawing | Chavez, Olda Nadinne Covián; Vázquez, Avenilde Romo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Students’ effort in mathematical problem solving (I) | Gago, Joaquín Fernández; Yáñez, José Carrillo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Assessment of the epistemic and cognitive suitability of a process for teaching problem solving related to the bayes theorem | Figueroa, Stella; Anchorena, Sergio; Distéfano, María Laura | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Knowledge and beliefs on problem solving of in-service and pre-service mathematics teachers | Lera, Celia Giné de; Deulofeu, Jordi | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Pre-service teachers’ mathematical knowledge for teaching probability using a frequentist approach | Gómez, Emilse; Batanero, Carmen; Contreras, José Miguel | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Educação matemática na educação profissional de nível médio: análise sobre possibilidades de abordagens interdisciplinares | Gonçalves, Harryson Júnio Lessa; Pires, Célia Maria Carolino | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Case study “Victor”: metacognitive difficulties in problem solvi | Gusmão, Tânia Cristina R. S; Cajaraville, José Antonio; Font, Vicenç; Godino, Juan D. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
As representações como suporte do raciocínio matemático dos alunos quando exploram atividades de investigação | Henriques, Ana; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Mathematical symbol systems learning in linear algebra and calculus | Apud, Eduardo Mario Lacués | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Mathematics for teaching in a teachers’ training programme based on the study of questions | Olarría, Alicia Ruiz; Delgado, Tomás Ángel Sierra; Casabò, Marianna Bosch; Pérez, Josep Gascón | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Classroom didactic management and its relation with teachers’ decisions: the case of the pythagorean theorem in seventh-grade | Olfos, Raimundo; Guzmán, Ismenia; Estrella, Soledad | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Socioepistemology and empowerment: teacher professionalization from problematization of mathematical knowledge | Reyes-Gasperini, Daniela; Cantoral, Ricardo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Symmetry and rotation skills of prospective elementary mathematics teachers | Turgut, Melih; Yenilmez, Kürşat; Anapa, Pınar | resumo em Inglês | Espanhol texto em Inglês Inglês
Analysis according to the cognitive model following constructed learning of the concept of derivative | Urquieta, M. Angélica Vega; Yañez, José Carrillo; Andrade, Jorge Soto | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O quadrado como conceito figural | Voduek, Helena Bezgovek; Lipovec, Alenka | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Introduction to derivative from variation and change: research results with first year university students | Vrancken, Silvia; Engler, Adriana | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Re-significando a disciplina de Teoria dos Números na formação do professor de Matemática na Licenciatura | Assis, Luciana M. Elias de | texto em Português Português
Proof in mathematics education: research, learning and teaching | Mazzi, Lucas Carato | texto em Português Português
A matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender | Batista, Paulo Soares | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.27, n.47, dez. 2013

Editorial texto em Português Português

Estudo comparativo da eficácia de estratégias e representações usadas por estudantes da escola básica em problemas relativos à generalização de padrões | Akkan, Yasar | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Influência dos padrões de interação didática no desenvolvimento da aprendizagem Matemática: análise de uma atividade exploratório-investigativa sobre sequências | Assis, Adriana; Frade, Cristina; Godino, Juan D. | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Psychology student’s estimation of association | Cañadas, Gustavo R.; Díaz, Carmen; Batanero, Carmen; Estepa, Antonio | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Advances in a model of relationship between opportunities to learn and mathematics competence | Carrillo, José; Contreras, Luís C.; Zakaryan, Diana | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Theoretical-technological questioning of mathematical activity: the case of the multiplication algorithm | Sierra Delgado, Tomás Ángel; Bosch Casabó, Marianna; Gascón Pérez, Josep | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Um estudo sobre o modo como alunos compreendem fractais | Karakus, Fatih | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
The Study and Research Course (SRC) in the secondary school: results of an implementation | Parra, Verónica; Rita Otero, María; Ángeles Fanaro, María de los | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Quando professores que ensinam Matemática elaboram produtos educacionais, coletivamente, no âmbito do Mestrado Profissional | Sousa, Maria do Carmo de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Educação estatística no curso de licenciatura em matemática | Lopes, Celi Espasandin | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O lugar das matemáticas na Licenciatura em Matemática: que matemáticas e que práticas formativas? | Fiorentini, Dario; Oliveira, Ana Teresa de Carvalho Correa de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O lugar da matemática escolar na Licenciatura em Matemática | Valente, Wagner Rodrigues | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Tendência profissionalizante da universidade: o caso da Licenciatura em Matemática da UFSCar | Vilela, Denise Silva | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O lugar da matemática na licenciatura em matemática | Moreira, Plinio Cavalcanti; Ferreira, Ana Cristina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Sobre o processo de mudança de professores das séries iniciais relativo ao desenvolvimento do pensamento funcional | Asghary, Nasim; Shahvarani, Ahmad; Medghalchi, Ali Reza | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Sobre a formação do professor de matemática no Maranhão | Rosa, Fernanda Malinosky Coelho da | texto em Português Português
A construção do conhecimento matemático de uma turma de alunos do Ensino Médio num espaço sociocultural: uma postura etnomatemática | Chisté, Bianca Santos; Santos, Reginaldo Tudeia dos; Gouveia Neto, Sérgio Candido | texto em Português Português
Enseñanza y aprendizaje en ecuaciones diferenciales con abordaje gráfico, numérico y analítico | Soares, Débora da Silva | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.27, n.46, ago. 2013.

Editorial | texto em Português Português

A Gênese Instrumental na interação com o GeoGebra: uma proposta para a formação continuada de professores de matemática | Abar, Celina Aparecida Almeida Pereira; Alencar, Sergio Vicente | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Escolas radiofônicas do Rio Grande do Norte: a memória, a narrativa e os retratos da época como uso didático | Assis, Márcia Maria Alves de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ensino de funções polinomiais de grau maior que dois através da análise de seus gráficos, com auxílio do software Graphmatica | Dazzi, Clóvis José; Dullius, Maria Madalena | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Portfólio de Matemática: um instrumento de análise do processo de aprendizagem | Bona, Aline Silva De; Basso, Marcus Vinicius de Azevedo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Atividades investigativas de aplicações das derivadas utilizando o GeoGebra | Gonçalves, Daniele Cristina; Reis, Frederico da Silva | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A produção de significados de estudantes do ensino fundamental para tarefas geométricas | Henriques, Marcílio Dias | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Tarefas aritméticas para o 6º ano do Ensino Fundamental | Loth, Maria Helena Marques; Silva, Amarildo Melchiades da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Kit de primeiros socorros: um guia para professores que, repentinamente, passam a atuar na EaD | Melillo, Kelly Maria de Campos Fornero Abreu de Lima; Kawasaki, Teresinha Fumi | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Interdisciplinaridade no PROEJA: uma proposta possível no caderno temático saúde e números | Miranda, Paula Reis de; Gazire, Eliane Scheid | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um estudo de planos, cilindros e quádricas, na perspectiva da habilidade de visualização, com o software Winplot | Mota, Janine Freitas; Laudares, João Bosco | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Um pouco de história das funções: algumas sugestões de atividades práticas para a sala de aula | Oliveira, Davidson Paulo Azevedo; Viana, Marger da Conceição Ventura; Rosa, Milton | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Modelagem matemática e o ensino de ajuste de funções: um caderno pedagógico | Pereira, Rudolph dos Santos Gomes; Santos Júnior, Guataçara dos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Dividindo histórias e opiniões: o produto de uma pesquisa em história da educação matemática | Salvador, Heloisa Hernandez de Fontes; Villela, Lucia Maria Aversa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ensino de trigonometria numa abordagem histórica: um produto educacional | Gomes, Severino Carlos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Jogos pedagógicos para o ensino de funções no primeiro ano do Ensino Médio | Strapason, Lísie Pippi Reis; Bisognin, Eleni | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Inclusão de estudantes cegos nas aulas de matemática: a construção de um kit pedagógico | Uliana, Marcia Rosa | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Simetria no ensino fundamental através da resolução de problemas: possibilidades para um trabalho em sala de aula | Vieira, Gilberto; Paulo, Rosa Monteiro; Allevato, Norma Suely Gomes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Sequência didática para o ensino de trigonometria usando o software GeoGebra | Lopes, Maria Maroni | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Uma introdução às funções de variável complexa no ensino médio: uma possibilidade através do uso de animações interativas | Monzo, Larissa Weyh; Gravina, Maria Alice | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
WebQuests, oficinas e guia de orientação: uma proposta integrada para a formação continuada de professores de matemática | Azevedo, Marcos Cruz de; Puggian, Cleonice; Friedmann, Clícia Valladares Peixoto | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Roteiros de aprendizagem a partir da transposição didática reflexiva | Civiero, Paula Andrea Grawieski; Sant’Ana, Marilaine de Fraga | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.27, n.45, abr. 2013.

Editorial | texto em Português Português

Contribuições da história da matemática para a construção dos saberes do professor de matemática | Araman, Eliane Maria de Oliveira; Batista, Irinéa de Lourdes | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Mathematical literacy and its development through elementary-education programs and occupations that do not require much schooling | Avila, Alicia | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Discursos do professor de matemática e suas implicações na compreensão dos alunos | Barboza, Pedro Lucio; Rego, Rômulo Marinho do; Barbosa, Jonei Cerqueira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Modelagem de conceitos e processos matemáticos por redes de petri coloridas: o caso da integrabilidade de funções reais | Barroso, Natália Maria Cordeiro; Soares, José Marques; Barroso, Giovanni Cordeiro; Mota, João Cesar Moura; Borges Neto, Hermínio | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
História da educação e literatura: possibilidades de relações | Brito, Arlete de Jesus; Ribeiro, Maria Augusta | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Problem solving in mathematics and its integration with the teaching of ethical values: the Chilean case | Díaz Quezada, Verónica; Letelier, Alvaro Poblete | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Competências profissionais de professores de matemática do ensino médio valorizadas por uma boa escola: a supremacia da cultura da performatividade | Franco Neto, Vanessa; Silva, Marcio Antonio da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O papel do professor e do aluno frente ao uso de um software de geometria interativa: iGeom | Isotani, Seiji; Brandão, Leônidas de Oliveira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A prática discursiva das altas habilidades em matemática | Jelinek, Karin Ritter | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Examinando o método de provas e refutações na educação de professores pré-serviço | Karakuş, Fatih; Bütün, Mesut | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Jovens e adultos construindo e interpretando gráficos | Lima, Izauriana Borges; Selva, Ana Coêlho Vieira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
O corpo despido pelas práticas de desenhar: dos usos à disciplinarização do desenho | Machado, Rosilene Beatriz; Flores, Cláudia Regina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Some indicators of the development of derivative schema | Sánchez-Matamoros, Gloria; Mercedes, García; Llinares, Salvador | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Aula de matemática: as relações entre o rujeito e o conhecimento matemático | Pompeu, Carla Cristina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Resenhas | A interiorização dos cursos de matemática no estado de São Paulo | Buissa, Inês Florinda Luís; Almeida, Shirley Patrícia Nogueira de Castro e | texto em Português Português
Análise matemática e afetividade: uma resenha de três trabalhos de Roberta D’Ângela Menduni Bortoloti | Otero-Garcia, Sílvio César; Cammarota, Giovani | texto em Português Português
A cigarra e a formiga: uma reflexão sobre educação matemática brasileira na primeira década do século XXI | Silva, Tatiane Taís Pereira da | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.26, n.44, dez. 2012.

Editorial

Garnica, Antonio Vicente Marafioti | texto em Português Português
Editorial Especial | Cantoral, Ricardo; Reyes-Gasperini, Daniela | texto em Espanhol Espanhol

Artigo

3+1 e suas (In)Variantes (Reflexões sobre as possibilidades de uma nova estrutura curricular na Licenciatura em Matemática) | Moreira, Plinio Cavalcanti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Desenvolvimento de fatos numéricos em estudantes com transtornos de aprendizagem | Costa, Adriana Corrêa; Rohde, Luis Augusto; Dorneles, Beatriz Vargas | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Por que a matemática é importante?: uma comparação entre professores de matemática turcos e alemães | Dede, Yüksel | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Assessing prospective secondary school teachers’ biases in conditional probability reasoning | Díaz, Carmen; Contreras, J. Miguel; Batanero, Carmen; Roa, Rafael | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
As Memórias de Lacroix: a instrução pública na França revolucionária, em geral, e o ensino de Matemática, em particular | Garnica, Antonio Vicente Marafioti; Gomes, Maria Laura Magalhães; Andrade, Mirian Maria | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Reflexões sobre análise institucional: o caso do ensino e aprendizagem de integrais múltiplas | Henriques, Afonso; Nagamine, André; Nagamine, Camila Macedo Lima | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Percepções de concluintes de pedagogia sobre a formação inicial do professor para a docência de matemática | Costa, Nielce Meneguelo Lobo da; Poloni, Marinês Yole | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ethnomathematics in braiding crafts: a methodological model for research | Oliveras, María Luisa; Albanese, Veronica | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Momentos diferentes no stage participativo de abstração de concepções matemáticas dos estudantes do secundário | Roig, Ana-Isabel; Llinares, Salvador; Penalva, Maria del Carmen | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
As interações na atividade de resolução de problemas e o desenvolvimento da capacidade de comunicar no ensino básico | Serrazina, Maria de Lurdes; Ribeiro, Deolinda | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Marco figural how to factorize tools polynomials quadratics | Méndez Olave, Teresita | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O que é número?: produção, circulação e apropriação da Matemática Moderna para crianças | Valente, Wagner Rodrigues | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Analysis of the student teachers’ conceptions on mathematics and its teaching and learning | Zapata, Marcos A.; Blanco, Lorenzo J.; Camacho, Matías | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Resenhas | Trilhas na construção de versões históricas sobre um Grupo Escolar | Matucheski, Silvana | texto em Português Português
A regulação da produção discursiva entre professor e alunos em um ambiente de modelagem matemática | Prado, Airam da Silva | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.26, n.43, ago. 2012.

Editorial | texto em Português Português

Artigo

Matemática como Discurso | Skovsmose, Ole | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Uma Interpretação Epistemológica do Processo de Modelagem Matemática: implicações para a matemática | Cifuentes, José Carlos; Negrelli, Leônia Gabardo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Quais Elementos Caracterizam uma Atividade de Modelagem Matemática na Perspectiva Sociocrítica? | Silva, Cíntia da; Kato, Lilian Akemi | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Ser Crítico em Projetos de Modelagem em uma Perspectiva Crítica de Educação Matemática | Araújo, Jussara de Loiola | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Pesquisas em Modelagem Matemática e diferentes tendências em Educação e em Educação Matemática | Malheiros, Ana Paula dos Santos | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Sobre a Pesquisa Qualitativa na Modelagem Matemática em Educação Matemática | Klüber, Tiago Emanuel; Burak, Dionísio | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Os “Mundos da Matemática” em Atividades de Modelagem Matemática | Almeida, Lourdes Maria Werle de; Palharini, Bárbara Nivalda | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Leitura e Interpretação de Dados Prontos em um Ambiente de Modelagem e Tecnologias Digitais: o mosaico em movimento | Diniz, Leandro do Nascimento; Borba, Marcelo de Carvalho | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Modelagem Matemática e Tecnologias de Informação e Comunicação: a realidade do mundo cibernético como um vetor de virtualização | Dalla Vecchia, Rodrigo; Maltempi, Marcus Vinicius | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A Intervenção do Professor em um Ambiente de Modelagem Matemática e a Regulação da Produção Discursiva dos Alunos | Santana, Thaine Souza; Barbosa, Jonei Cerqueira | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Modelagem na Sala de Aula: resistências e obstáculos | Silveira, Everaldo; Caldeira, Ademir Donizeti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Percepções de Professores sobre o Uso da Modelagem Matemática em Sala de Aula | Bisognin, Eleni; Bisognin, Vanilde | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
As discussões entre formador e professores no planejamento do ambiente de modelagem matemática | Silva, Lilian Aragão da; Oliveira, Andréia Maria Pereira de | resumo em Português | Inglês texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.26, n.42B, abr. 2012.

Artigo

A história da derivada de Mariana: uma experiência didática | Baldino, Roberto Ribeiro; Fracalossi, Aline Schröpfer | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Educação matemática na escola indígena sob uma abordagem crítica | Bernardi, Luci dos Santos; Caldeira, Ademir Donizeti | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
An exploratory study about student teachers’ numerical competences | Contreras, Luis C.; Carrillo, José; Zakaryan, Diana; Muñoz-Catalán, Mª Cinta; Climent, Nuria | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Study of the praxeologies proposed to study in a university calculus course | Corica, Ana Rosa; Otero, María Rita | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
The nature of elementary algebraic reasoning | Godino, Juan D.; Castro, Walter F.; Aké, Lilia P.; Wilhelmi, Miguel R. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
O ler e o escrever na construção do conhecimento matemático no Ensino Médio | Oliveira, Roberto Alves de; Lopes, Celi Espasandin | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a Educação Matemática | Ribeiro, Alessandro Jacques | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Development of knowledge for teaching proportionality in prospective elementary teachers | Rivas, Mauro A.; Godino, Juan D.; Castro, Walter F. | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
Saberes quilombolas: um estudo no processo de produção da farinha de mandioca | Vizolli, Idemar; Santos, Rosa Maria Gonçalves; Machado, Renato Francisco | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Saúde e números: uma parceria de sucesso | Miranda, Paula Reis de; Gazire, Eliane Scheid | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Qual o papel que a memória de trabalho exerce na aprendizagem da matemática? | Corso, Luciana Vellinho; Dorneles, Beatriz Vargas | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A relação entre diferentes tipos de erros cometidos por estudantes e o conhecimento exigido para resolver problemas-palavra | Haghverdi, Majid; Semnani, Ahmad Shahvarani; Seifi, Mohammad | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Analysis of a process of statement on the teaching of the limit of a function | Contreras de la Fuente, Ángel; García Armenteros, Manuel; Font Moll, Vicenç | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A regra dos sinais para a multiplicação: ponto de encontro com a noção de congruência semântica e o princípio de extensão em matemática | Moretti, Méricles T. | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
As concepções de professores pós-graduandos sobre provas formais | Uğurel, Işikhan | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
Resenhas | Modelagem em Educação Matemática | Kistemann Jr., Marco Aurélio | texto em Português Português
A etnomatemática no contexto do ensino inclusivo | Santos, Evelaine Cruz dos | texto em Português Português
A transição do cálculo para a análise: uma resenha de três trabalhos de Márcia Maria Fusaro Pinto | Otero-Garcia, Sílvio César | texto em Português Português
Educação Matemática online: a elaboração de projetos de modelagem | Matucheski, Silvana | texto em Português Português

Bolema. Rio Claro, v.26, n.42A, abr. 2012.

Editorial | texto em Português Português

Artigo

Letramento em Matemática: um estudo a partir dos dados do PISA2003 | Aguiar, Glauco da Silva; Ortigão, Maria Isabel Ramalho | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Descrição de algumas das dimensões que compõem o perfil do corpo docente dos Departamentos de Estatística do Brasil | Ara, Anderson; Louzada, Francisco | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
An onto-Semiotic approach to geometrical reasoning and spatial visualization | Blanco, Teresa Fernández; Godino, Juan Díaz; Pegito, José Antonio Cajaraville | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A supervisão na formação contínua de professores de matemática e o desenvolvimento profissional | Dias, Aurora; Vieira, Celina Tenreiro | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Iconografia militar e práticas do olhar: ressonâncias na visualização matemática | Flores, Cláudia Regina | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Escrita autobiográfica e história da educação matemática | Gomes, Maria Laura Magalhães | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Investigando a compreensão de alunos do oitavo ano sobre a inclinação de funções lineares | Birgin, Osman | resumo em Português | Inglês texto em Inglês Inglês
O processo histórico de disciplinarização da Metodologia do Ensino de Matemática | Ferreira, Viviane Lovatti; Santos, Vinicio de Macedo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Tarefas alternativas para o ensino e a aprendizagem de funções: análise de uma intervenção no Ensino Médio | Meneghetti, Renata Cristina Geromel; Redling, Julyette Priscila | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A aprendizagem matemática em uma posição de fronteira: foregrounds e intencionalidade de estudantes de uma favela brasileira | Skovsmose, Ole; Scandiuzzi, Pedro Paulo; Valero, Paola; Alrø, Helle | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
A modelagem como um ambiente de aprendizagem para a conversão do conhecimento matemático | Rosa, Milton; Orey, Daniel Clark | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Pintar, dobrar, recortar e desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros didáticos de matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental | Santos, Luciana Ferreira dos; Teles, Rosinalda Aurora de Melo | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Social construction of mathematical knowledge during the isolation of genes in a toxicological practice | Sánchez, Isabel Tuyub; Cantoral, Ricardo | resumo em Espanhol | Inglês texto em Espanhol Espanhol
A formação do professor de Matemática, apoiada pelas TIC, no seu estágio pedagógico | Viseu, Floriano; Ponte, João Pedro da | resumo em Português | Inglês texto em Português Português
Resenhas | Sobre incerteza, dúvida, responsabilidade e viagens: um ensaio sobre dois livros de Ole Skovsmose | Appelbaum, Peter | texto em Inglês Inglês
Tecnologias da Informação e Comunicação, Função Composta e Regra da Cadeia | Soares, Débora da Silva; Villa-Ochoa, Jhony Alexander | texto em Português Português
Relações de Gênero, Educação Matemática e discurso: enunciados sobre mulheres, homens e matemática | Kistemann Jr., Marco Aurélio | texto em Português Português

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BOLEMA | Unesp | 1985

1 de janeiro de 1985

O Bolema – Boletim de Educação Matemática (1985 -) é uma das mais antigas e importantes publicações na área da Educação Matemática no Brasil. A Educação Matemática, em síntese, é uma região de inquérito que busca dar respostas a fenômenos educacionais relacionados à Matemática. Com a intenção de disseminar a produção científica em Educação Matemática ou áreas afins, o BOLEMA publica artigos, e a partir de 2017 resenhas convidadas, cujos focos relacionam-se ao ensino e à aprendizagem de Matemática e/ou ao papel da Matemática e da Educação Matemática na sociedade.

Embora nascido vinculado ao Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da UNESP de Rio Claro, o BOLEMA já se tornou um periódico nacional, com corpo editorial e consultores de renome, do país e do exterior, tendo sido avaliado como periódico QUALIS NACIONAL A pela CAPES. Com três edições ao ano, o BOLEMA recebe artigos em fluxo contínuo.

Criado em 1985, o BOLEMA nasceu da iniciativa de um grupo de pós-graduandos do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da UNESP de Rio Claro – o primeiro centro de estudos pós-graduados, nessa área, na América Latina. Os dois primeiros números circularam no ano de 1985. A partir do ano de 2000 manteve, sem interrupção, a periodicidade semestral e, a partir do ano de 2008, atendendo à demanda da comunidade, tornou-se quadrimestral, incorporando à numeração das edições regulares algumas edições temáticas.

Periodicidade quadrimestral

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ISSN 1980 4415

ISSN 0103 636x

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Hipátia de Alexandria / Desenho de Jules Maurice Gaspard (1862–1919). Reprodução Wikimedia Commons /

Bolema. Rio Claro, v.35, n.69, jan./abr. 2021.

Bolema. Rio Claro, v.34, n.68, set./dez. 2020.

Bolema. Rio Claro, v.34, n.67, maio/ago. 2020.

Bolema. Rio Claro, v.34, n.66, jan./abr. 2020.

Bolema. Rio Claro, v.33, n.65, set./dez. 2019.

Bolema. Rio Claro, v.33, n.64, maio/ago. 2019.

Bolema. Rio Claro, v.33, n.63, jan./abr. 2019.

Bolema. Rio Claro, v.32, n.62, dez. 2018

Bolema. Rio Claro, v.32, n.61, ago. 2018.

Bolema. Rio Claro, v.32, n.60, jan./abr. 2018.

Bolema. Rio Claro, v.31, n.59, dez. 2017

Bolema. Rio Claro, v.31, n.58, ago. 2017.

Bolema. Rio Claro, v.31, n.57, jan./abr. 2017.

Bolema. Rio Claro, v.30, n.56, set./dez. 2016.

Bolema. Rio Claro, v.30, n.55, mai./ago. 2016.

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Bolema. Rio Claro, v.29, n.53, dez. 2015.

Bolema. Rio Claro, v.29, n.52, ago. 2015

Bolema. Rio Claro, v.29, n.51, abr. 2015.

Bolema. Rio Claro, v.28, n.50, dez. 2014

Bolema. Rio Claro, v.28, n.49, ago. 2014.

Bolema. Rio Claro, v.28, n.48, abr. 2014.

Bolema. Rio Claro, v.27, n.47, dez. 2013

Bolema. Rio Claro, v.27, n.46, ago. 2013.

Bolema. Rio Claro, v.27, n.45, abr. 2013.

Bolema. Rio Claro, v.26, n.44, dez. 2012.

Bolema. Rio Claro, v.26, n.43, ago. 2012.

Bolema. Rio Claro, v.26, n.42B, abr. 2012.

Artigo

Bolema. Rio Claro, v.26, n.42A, abr. 2012.

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